Question

（2011•臨沂二模）下面四個(gè)命題：
①函數(shù)y=

1

x

在（2，

1

2

）處的切線與直線2x-y+1=0垂直；
②已知a=∫

π 0

（sint+cost）dt，則（x-

1

ax

）⁶展開(kāi)式中的常數(shù)項(xiàng)為-

5

2

，
③在邊長(zhǎng)為1的正方形ABCD內(nèi)（包括邊界）有一點(diǎn)M，則△AMB的面積大于或等于

1

4

的概率為

3

4

④在一個(gè)2×2列聯(lián)表中，由計(jì)算得K²=13，079，則其兩個(gè)變量有關(guān)系的可能性是99.9%．

P（K2≥k0）	0.15	0.10	0.05	0.025	0.01	0.005	0.001
k0	2.072	2.706	3.841	5.024	6.635	7.879	10.828

其中所有正確的命題序號(hào)是

②④

．

Answer 1

分析：①錯(cuò)，先用導(dǎo)數(shù)的幾何意義，求出該點(diǎn)處切線的斜率，就可求出垂線的斜率，進(jìn)而求出垂線的方程與給的不符；
②對(duì)，先用積分的知識(shí)求出a的值，然后再用二項(xiàng)式定理可求出常數(shù)項(xiàng)；
③錯(cuò)，點(diǎn)M向AB作垂線先表達(dá)出△AMB的面積，然后面積積大于或等于

1

4

，得出高應(yīng)滿(mǎn)足的條件，知道點(diǎn)M所在的區(qū)域，就可算出概率；
④對(duì)，根據(jù)給出的表格，通過(guò)進(jìn)行值得比較就可得出變量的相關(guān)關(guān)系．

解答：解：①錯(cuò)，∵f′(x)=-

1

x2

∴函數(shù)在（2，

1

2

）處切線的斜率k=-

1

22

= -

1

4

    那么與切線垂直的直線的斜率為4，與所給的直線斜率不符合
    ②對(duì)，a=∫₀^π（sint+cost）dt=（-cost+sint）|₀^π=2
∴(x-

1

ax

)6=(x-

1

2x

)6，通項(xiàng)Tr+1=

C

r 6

x6-r(-

1

2x

)r=Tr+1=

C

6 r

x6-2r(-

1

2

)r
    又因?yàn)槭浅��?shù)項(xiàng)，所以6-2r=0，即r=3
    常數(shù)項(xiàng)T4=

C

3 6

(-

1

2

)3=-

5

2

  ③錯(cuò)，如圖由點(diǎn)M向AB作垂線，垂足為N，S△ABM=

1

2

×|AB|×|MN|=

1

2

|MN|≥

1

4

，即|MN|≥

1

2

，所以M點(diǎn)位于正方形的上半?yún)^(qū)域，故概率為

1

2

；
 
 ④對(duì)，∵K²=13，079＞10.828，∴有兩個(gè)變量有關(guān)系的可能性是99.9%

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查了導(dǎo)數(shù)的幾何意義、積分、二項(xiàng)式定理、幾何概型和獨(dú)立性檢驗(yàn)的有關(guān)知識(shí)．整體來(lái)說(shuō)本題綜合性比較強(qiáng)，所以難度中等．