(2013•麗水一模)離心率為e1的橢圓與離心率為e2的雙曲線有相同的焦點,且橢圓長軸的端點、短軸的端點、焦點到雙曲線的一條漸近線的距離依次構(gòu)成等比數(shù)列,則
e
2
1
-1
e
2
2
-1
=(  )
分析:設橢圓方程為
x2
a12
+
y2
b12
=1
,雙曲線方程為
x2
a 2
-
y2
b 2
=1
,它們一個公共的焦點為F(c,0).由點到直線的距離公式,分別算出橢圓長軸端點、短軸端點和焦點到雙曲線漸近線的距離關(guān)于a1、b1、a、b和c的式子,利用等比關(guān)系建立等式,化簡得a2b 12=b2ca1,由此對
e
2
1
-1
e
2
2
-1
進行化簡可得它的值為-e1,從而得到本題答案.
解答:解:設橢圓方程為
x2
a12
+
y2
b12
=1
(a1>b1>0),雙曲線方程為
x2
a 2
-
y2
b 2
=1
(a>0,b>0)
它們一個公共的焦點為F(c,0)
∵橢圓長軸端點A到雙曲線的漸近線bx-ay=0的距離|AC|=
|ba1|
a2+b2
=
ba1
c

 橢圓短軸軸端點B到雙曲線的漸近線bx-ay=0的距離|BD|=
|ab1|
a2+b2
=
ab 1
c

橢圓焦點F到雙曲線的漸近線bx-ay=0的距離|FG|=
|bc|
a2+b2
=b
(
ab 1
c
)2
=
ba1
c
•b,可得a2b 12=b2ca1
因此,
e
2
1
-1
e
2
2
-1
=
(
c
a1
)2-1
(
c
a
)2-1
=
c2-a12
a12
c2-a2
a2
=-
b12
a12
a2
b2
=-
b2ca1
a12b2
=-
c
a1
=-e1
故選:A
點評:本題給出共焦點的橢圓與雙曲線,在已知點到直線的距離成等比數(shù)列情況下化簡關(guān)于離心率的分式的值,著重考查了橢圓、雙曲線的標準方程和簡單幾何性質(zhì)等知識,屬于中檔題.
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)
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