Question

【題目】超級細(xì)菌是一種耐藥性細(xì)菌，產(chǎn)生超級細(xì)菌的主要原因是用于抵抗細(xì)菌侵蝕的藥物越來越多，但是由于濫用抗生素的現(xiàn)象不斷的發(fā)生，很多致病菌也對相應(yīng)的抗生素產(chǎn)生了耐藥性，更可怕的是，抗生素藥物對它起不到什么作用，病人會因為感染而引起可怕的炎癥，高燒，痙攣，昏迷，甚至死亡.

某藥物研究所為篩查某種超級細(xì)菌，需要檢驗血液是否為陽性，現(xiàn)有份血液樣本，每個樣本取到的可能性相等，有以下兩種檢驗方式：（1）逐份檢驗，則需要檢驗次；（2）混合檢驗，將其中（且）份血液樣本分別取樣混合在一起檢驗，若檢驗結(jié)果為陰性，則這份的血液全為陰性，因而這份血液樣本只要檢驗一次就夠了；如果檢驗結(jié)果為陽性，為了明確這k份血液究竟哪幾份為陽性，就要對這k份再逐份檢驗，此時這k份血液的檢驗次數(shù)總共為次.假設(shè)在接受檢驗的血液樣本中，每份樣本的檢驗結(jié)果是陽性還是陰性都是獨(dú)立的，且每份樣本是陽性結(jié)果的概率為

現(xiàn)取其中（且）份血液樣本，記采用逐份檢驗方式，樣本需要檢驗的總次數(shù)為，采用混合檢驗方式，樣本需要檢驗的總次數(shù)為

（1）運(yùn)用概率統(tǒng)計的知識，若，試求關(guān)于的函數(shù)關(guān)系式；

（2）若與抗生素計量相關(guān)，其中是不同的正實數(shù)，滿足，對任意的，都有

（i）證明：為等比數(shù)列；

（ii）當(dāng)時，采用混合檢驗方式可以使得樣本需要檢驗的總次數(shù)的期望值比逐份檢驗的總次數(shù)期望值更少，求的最大值.

參考數(shù)據(jù)：，，，，，

Answer 1

【答案】（1），（，且）；（2）（i）見解析，（ii）4

【解析】

（1）易知若取份血液樣本則；的所有可能取值為1，，根據(jù)概率公式可表示出.結(jié)合，化簡即可關(guān)于的函數(shù)關(guān)系式；

（2）（i）根據(jù)當(dāng)時成立，則由數(shù)學(xué)歸納法即可證明為等比數(shù)列.（ii）根據(jù)（i）可得，，化簡可得，構(gòu)造函數(shù)，求得導(dǎo)函數(shù)，可通過的符號判斷函數(shù)單調(diào)性，結(jié)合參考數(shù)據(jù)，即可求得的最大值.

（1）由已知得；的所有可能取值為1，，

，

.

.

若，

則，，

，

.

關(guān)于k的函數(shù)關(guān)系式為，（，且）.

（2）（i）證明：當(dāng)時，，

，令，則，

，下面證明對任意的正整數(shù)n，.

①當(dāng)，2時，顯然成立；

②假設(shè)對任意的時，，下面證明時，：

由題意，得，，

，，

，

.

或（負(fù)值舍去）.

成立.

由①②可知，為等比數(shù)列，.

（ii）由（i）知，，，

，得，

.

設(shè)，，

當(dāng)時，，即在上單調(diào)減.

又，，

；，，

.

的最大值為4.