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已知：如圖，平面PAB⊥平面ABC，平面PAC⊥平面ABC，AE⊥平面PBC，E為垂足.

(1)求證：PA⊥平面ABC；

(2)當E為△PBC的垂心時，求證：△ABC是直角三角形.

解析：(1)在平面ABC內取一點D，作DF⊥AC于F.平面PAC⊥平面ABC，且交線為AC，

∴DF⊥平面PAC.PA平面PAC.

∴DF⊥AP.

作DG⊥AB于G.同理可證DG⊥AP.

DG、DF都在平面ABC內，

∴PA⊥平面ABC.

(2)連結BE并延長交PC于H.

∵E是△PBC的垂心，∴PC⊥BE.

又已知AE是平面PBC的垂線，∴PC⊥BH.

∴PC⊥面ABE.

∴PC⊥AB.

又∵PA⊥平面ABC.∴PA⊥AB.

∴AB⊥平面PAC.

∴AB⊥AC.即△ABC是直角三角形.

練習冊系列答案
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科目：高中數學 來源： 題型：

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（Ⅰ）求證：平面PDC⊥平面PAD；
（Ⅱ）若E是PD的中點，求異面直線AE與PC所成角的余弦值；
（Ⅲ）點G在線段BC上，且BG=
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，求點D到平面PAG的距離．

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（Ⅱ）證明：平面PCD⊥平面PAD；
（Ⅲ）求二面角E-AC-D的正弦值．

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(1)求證：PA⊥平面ABC；

(2)當E為△PBC的垂心時，求證：△ABC是直角三角形.

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