如圖所示，A為橢圓＋＝1(a＞b＞0)上的一個動點，弦AB、AC分別過焦點F1、F2．當AC垂直于x軸時，恰好AF1∶AF2＝3∶1．

(1)求該橢圓的離心率；

(2)設(shè)＝λ1，AF2＝λ2，試判斷λ1＋λ2是否為定值？若是，則求出該定值；若不是，請說明理由．

答案：
解析：

　　解：(1)當AC垂直于x軸時，|AF1|∶|AF2|＝3∶1．

　　由|AF1|＋|AF2|＝2a，得|AF1|＝，|AF2|＝．

　　在Rt△AF1F2中，|AF1|2＝|AF2|2＋(2c)2，

　　所以()2＝()2＋(2c)2，由此解得e＝．

　　(2)由e＝，則＝＝＝，b＝c，焦點坐標為F1(－b，0)，F(xiàn)2(b，0)，則橢圓方程為＋＝1，化簡得x2＋2y2＝2b2．

　　設(shè)A(x0，y0)，B(x1，y1)，C(x2，y2)，

　�、偃糁本�AC的斜率存在，則直線AC方程為y＝(x－b)，代入橢圓方程有(3b2－2bx0)y2＋2by0(x0－b)y－b2y02＝0．

　　由韋達定理，得y0y2＝，

　　所以y2＝．

　　所以λ2＝＝＝，同理，可得λ1＝＝，故λ1＋λ2＝＝6．

　�、谌糁本�AC⊥x軸，x0＝b，λ2＝1，λ1＝＝5，

　　∴λ1＋λ2＝6．

　　綜上所述，λ1＋λ2是定值6．

　　解析：本題在解決過程中要注意充分利用橢圓的定義以及向量與相關(guān)的線段長度間的關(guān)系，從而將問題解決．


練習(xí)冊系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

精英家教網(wǎng)如圖所示，已知橢圓的中心在原點，焦點在x軸上，長軸長是短軸長的3倍且經(jīng)過點M（3，1）．平行于OM的直線l在y軸上的截距為m（m≠0），且交橢圓于A，B兩不同點．
（1）求橢圓的方程；
（2）求m的取值范圍；

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

如圖所示，已知橢圓C：x2+
y2
a2
=1（a＞1）的離心率為e，點F為其下焦點，點A為其上頂點，過F的直線l：y=mx-c（其中c=
a2-1
與橢圓C相交于P，Q兩點，且滿足
AP
•
AQ
=
a2(a+c)2-1
2-c2
．
（1）試用a表示m2；
（2）求e的最大值；
（3）若e∈（
1
3
，
1
2
），求m的取值范圍．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

精英家教網(wǎng)如圖所示：已知橢圓方程為
y2
a2
+
x2
b2
=1(a＞b＞0)，A，B是橢圓與斜軸的兩個交點，F(xiàn)是橢圓的焦點，且△ABF為直角三角形．
（1）求橢圓離心率；
（2）若橢圓的短軸長為2，過F的直線與橢圓相交的弦長為
3
2
2
，試求弦所在直線的方程．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源：全優(yōu)設(shè)計選修數(shù)學(xué)－1-1蘇教版 蘇教版 題型：044

如圖所示，A為橢圓＝1(a＞b0)上的一個動點，弦AB、AC分別過焦點F1、F2．當AC垂直于x軸時，恰好AF1∶AF2＝3∶1．

(1)求該橢圓的離心率；

(2)設(shè)，試判斷λ1＋λ2是否為定值？若是，則求出該定值；若不是，請說明理由．

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