Question

11．在數(shù)列{a_n}中，a₁=1，3a_na_n-1+a_n-a_n-1=0（n≥2）．?dāng)?shù)列{b_n}滿足b_n=a_n•a_n+1，T_n為數(shù)列{b_n}的前n項(xiàng)和．
（1）證明：數(shù)列{$\frac{1}{{a}_{n}}$}是等差數(shù)列；
（2）若對(duì)任意的n∈N^*，不等式λT_n＜n+12•（-1）ⁿ恒成立，求實(shí)數(shù)λ的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）由3a_na_n-1+a_n-a_n-1=0（n≥2），兩邊同除以a_na_n-1，整理得$\frac{1}{{a}_{n}}$-$\frac{1}{{a}_{n-1}}$=3（n≥2）．$\frac{1}{{a}_{1}}$=1，數(shù)列{$\frac{1}{{a}_{n}}$}是首項(xiàng)為1，公差為3的等差數(shù)列；
（2）由（1）得$\frac{1}{{a}_{n}}$=1+（n-1）×3=3n-2，求得a_n=$\frac{1}{3n-2}$，則b_n=a_n•a_n+1=$\frac{1}{（3n-2）（3n+1）}$=$\frac{1}{3}$（$\frac{1}{3n-2}$-$\frac{1}{3n+1}$），“裂項(xiàng)法”即可求得數(shù)列{b_n}的前n項(xiàng)和T_n，則λ＜3n+$\frac{12（-1）^{n}}{n}$+36（-1）ⁿ+1，分類根據(jù)基本不等式，即可求得實(shí)數(shù)λ的取值范圍．

解答 解：（1）證明：∵數(shù)列{a_n}中，a₁=1，3a_na_n-1+a_n-a_n-1=0（n≥2）．
整理得：$\frac{1}{{a}_{n}}$-$\frac{1}{{a}_{n-1}}$=3（n≥2）．
又$\frac{1}{{a}_{1}}$=1，
∴數(shù)列{$\frac{1}{{a}_{n}}$}是首項(xiàng)為1，公差為3的等差數(shù)列；
（2）由（1）得$\frac{1}{{a}_{n}}$=1+（n-1）×3=3n-2，
∴a_n=$\frac{1}{3n-2}$，
b_n=a_n•a_n+1=$\frac{1}{（3n-2）（3n+1）}$=$\frac{1}{3}$（$\frac{1}{3n-2}$-$\frac{1}{3n+1}$），
數(shù)列{b_n}的前n項(xiàng)和T_n，T_n=b_n+b_n+b_n+…+b_n，
=$\frac{1}{3}$[（1-$\frac{1}{4}$）+（$\frac{1}{4}$-$\frac{1}{7}$）+（$\frac{1}{7}$-$\frac{1}{10}$）+…+（$\frac{1}{3n-2}$-$\frac{1}{3n+1}$）]，
=$\frac{1}{3}$（1-$\frac{1}{4}$+$\frac{1}{4}$-$\frac{1}{7}$+$\frac{1}{7}$-$\frac{1}{10}$+…+$\frac{1}{3n-2}$-$\frac{1}{3n+1}$），
=$\frac{1}{3}$（1-$\frac{1}{3n+1}$）
=$\frac{n}{3n+1}$，
λT_n＜n+12•（-1）ⁿ恒成立，
∴λ＜3n+$\frac{12（-1）^{n}}{n}$+36（-1）ⁿ+1，
當(dāng)n為偶數(shù)時(shí)，
λ＜3n+$\frac{12}{n}$+37≤2$\sqrt{3n×\frac{12}{n}}$+37=49，（當(dāng)且僅當(dāng)3n=$\frac{12}{n}$，即n=2時(shí)取“=”），
當(dāng)n為奇數(shù)時(shí)，
λ＜3n-$\frac{12}{n}$-35，
由函數(shù)的單調(diào)性可知：3n-$\frac{12}{n}$-35＞-45，
即當(dāng)n=1時(shí)取最小值，
綜上可知：實(shí)數(shù)λ的取值范圍λ＜49．

點(diǎn)評(píng) 本題考查等差數(shù)列的性質(zhì)，等差數(shù)列的證明，考查“裂項(xiàng)法”求數(shù)列的前n項(xiàng)和，考查分類討論思想，考查計(jì)算能力，屬于中檔題．