Question

函數(shù)f（x）=cos（2x-

π

4

）+

2

sinxcosx+

2

2

-

2

sin²x，下列結(jié)論中正確的有（　　）
①f（x）是以π為最小正周期的周期函數(shù)；
②直線x=

3π

8

是函數(shù)f（x）的一條對稱軸；
③f（x）在區(qū)間（0，

π

2

）上是單調(diào)增函數(shù)；
④f（x）既不是奇函數(shù)，也不是偶函數(shù)．

• A、1個
• B、2個
• C、3個
• D、4個

Answer 1

考點：命題的真假判斷與應(yīng)用

專題：三角函數(shù)的圖像與性質(zhì)

分析：利用兩角和差的正弦余弦公式和倍角公式可得函數(shù)f（x）=2sin(2x+

π

4

)．再利用三角函數(shù)的圖象與性質(zhì)即可判斷出．

解答： 解：函數(shù)f（x）=cos（2x-

π

4

）+

2

sinxcosx+

2

2

-

2

sin²x
=

2

2

cos2x+

2

2

sin2x+

2

2

sin2x+

2

2

-

2 (1-cos2x)

2

=

2

cos2x+

2

sin2x
=2sin(2x+

π

4

)．
∴T=

2π

2

=π，因此①正確；
sin(2×

3

8

π+

π

4

)=sinπ=0，因此直線x=

3π

8

不是函數(shù)f（x）的一條對稱軸，②不正確；
由x∈(0，

π

2

)可知：

π

4

＜2x+

π

4

＜

5π

4

，可知f（x）在區(qū)間（0，

π

2

）上不是單調(diào)增函數(shù)，因此③；
f（x）既不是奇函數(shù)，也不是偶函數(shù)，故④正確．
綜上可得：只有①④正確．
故選：B．

點評：本題考查了兩角和差的正弦余弦公式、倍角公式、三角函數(shù)的圖象與性質(zhì)，考查了推理能力和計算能力，屬于難題．