Question

12．根據(jù)國家環(huán)保部新修訂的《環(huán)境空氣質(zhì)量標準》規(guī)定：居民區(qū)PM2.5的年平均濃度不得超過35微克/立方米，PM2.5的24小時平均濃度不得超過75微克/立方米．我市環(huán)保局隨機抽取了一居民區(qū)2016年20天PM2.5的24小時平均濃度（單位：微克/立方米）的監(jiān)測數(shù)據(jù)，數(shù)據(jù)統(tǒng)計如表：

組別	PM2.5濃度（微克/立方米）	頻數(shù)（天）	頻率
第一組	（0，25]	3	0.15
第二組	（25，50]	12	0.6
第三組	（50，75]	3	0.15
第四組	（75，100]	2	0.1

（1）將這20天的測量結(jié)果按上表中分組方法繪制成的樣本頻率分布直方圖如圖．
①求頻率分布直方圖中a的值；
②求樣本平均數(shù)，并根據(jù)樣本估計總體的思想，從PM2.5的年平均濃度考慮，判斷該居民區(qū)的環(huán)境質(zhì)量是否需要改善？并說明理由．
（2）將頻率視為概率，對于2016年的某3天，記這3天中該居民區(qū)PM2.5的24小時平均濃度符合環(huán)境空氣質(zhì)量標準的天數(shù)為X，求X的分布列．

Answer 1

分析 （1）（1）①估計頻率和為1求出a的值；
②利用頻率分布直方圖求出年平均濃度，與35比較即可得出結(jié)論；
（2）由題意得PM2.5的24小時平均濃度符合環(huán)境空氣質(zhì)量標準的概率為0.9，
X的可能取值為0，1，2，3；計算P（X=k）=${C}_{3}^{k}$•0.1^3-k•0.9^k，寫出分布列．

解答 解：（1）①由第四組的頻率為1-（0.006+0.024+0.006）×25=0.1，
得25a=0.1，
解得a=0.004；
②去年該居民區(qū)PM2.5年平均濃度為：
12.5×0.15+37.5×0.6+62.5×0.15+87.5×0.1=42.5（微克/立方米）；
因為42.5＞35，
所以去年該居民區(qū)PM2.5年平均濃度不符合環(huán)境空氣質(zhì)量標準，
故該居民區(qū)的環(huán)境需要改進；
（2）由題意可得：
PM2.5的24小時平均濃度符合環(huán)境空氣質(zhì)量標準的概率為0.9，
X的可能取值為0，1，2，3；
P（X=k）=${C}_{3}^{k}$•（1-0.9）^3-k•0.9^k，
可得P（X=0）=0.001，P（X=1）=0.027，
P（X=2）=0.243，P（X=3）=0.729；
X的分布列為：

X	0	1	2	3
P	0.001	0.027	0.243	0.729

點評 本題考查了頻率分布直方圖與二項分布列的應(yīng)用問題，是基礎(chǔ)題．