Question

已知圓的方程為x²+y²=4，過點(diǎn)M（2，4）作圓的兩條切線，切點(diǎn)分別為A₁、A₂，直線A₁A₂恰好經(jīng)過橢圓

x2

a2

+

y2

b2

=1(a＞b＞0)的右頂點(diǎn)和上頂點(diǎn)．
（Ⅰ）求橢圓的方程；
（Ⅱ）設(shè)直線x=-1與橢圓相交于A、B兩點(diǎn)，P是橢圓上異于A、B的任意一點(diǎn)，直線AP、BP分別交定直線l：x=-4于兩點(diǎn)Q、R，求證

OQ

•

OR

為定值．

Answer 1

分析：（Ⅰ）利用圓的切線的性質(zhì)即可求出橢圓的右頂點(diǎn)和上頂點(diǎn)，進(jìn)而即可得到橢圓的方程；
（Ⅱ）設(shè)出點(diǎn)P的坐標(biāo)，代入橢圓的方程即可得到關(guān)系式，點(diǎn)A，B的坐標(biāo)易求出，寫出直線AP，BP的方程，即可得到點(diǎn)Q，R的縱坐標(biāo)，再利用向量的數(shù)量積即可證明．

解答：解：（Ⅰ） 觀察知，x=2是圓的一條切線，切點(diǎn)為A₁（2，0），
設(shè)O為圓心，根據(jù)圓的切線性質(zhì)，MO⊥A₁A₂，
∴kA1A2=-

1

kMO

=-

1

2

，
∴直線A₁A₂的方程為y=-

1

2

(x-2)．
直線A₁A₂與y軸相交于（0，1），依題意a=2，b=1，
所求橢圓的方程為

x2

4

+y2=1．
（Ⅱ）橢圓方程為

x2

4

+y2=1，設(shè)P（x₀，y₀），A（-1，t），B（-1，-t），
則有

x

2 0

+4

y

2 0

-4=0，

1

4

+t2=1，
在直線AP的方程y-t=

t-y0

-1-x0

(x+1)中，令x=-4，整理得yQ=

(4+x0)t-3y0

(1+x0)

．①
同理，yR=

-3y0-(4+x0)t

(1+x0)

．②
①×②，并將

y

2 0

=1-

1

4

x

2 0

，t2=

3

4

代入得y_Q•y_R=

9 y 2 0 -(4+x0)2t2

(1+x0)2

=

9(1- 1 4 x 2 0 )-(4+x0)2• 3 4

(1+x0)2

=

-3(1+x0)2

(1+x0)2

=-3．
而

OQ

•

OR

=(-4，yQ)•(-4，yR)=16+yQ•yR=13為定值．

點(diǎn)評：熟練掌握圓的切線的性質(zhì)、橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程及其性質(zhì)、直線的點(diǎn)斜式、數(shù)量積的定義是解題的關(guān)鍵．注意體會設(shè)而不求的作用．