【題目】設數(shù)列滿足: .
(1)求數(shù)列的通項公式;
(2)設,求數(shù)列的前項和.
【答案】(1);(2)
【解析】
(1)根據(jù)題意,可得a1+2a2+3a3++(n﹣1)an﹣1=2n﹣1,兩者相減,可得數(shù)列{an}的通項公式;
(2)根據(jù)題意,求出bn的通項公式,利用錯位相減法求出數(shù)列{bn}的前n項和Sn.
(1)∵a1+2a2+3a3+…+nan=2n①,
∴n≥2時,a1+2a2+3a3+…+(n﹣1)an﹣1=2n﹣1②
①﹣②得nan=2n﹣1,an=(n≥2),在①中令n=1得a1=2,
∴an=
(2)∵bn=.
則當n=1時,S1=2
∴當n≥2時,Sn=2+2×2+3×22+…+n×2n﹣1
則2Sn=4+2×22+3×23+…+(n﹣1)2n﹣1+n2n
相減得Sn=n2n﹣(2+22+23+…+2n﹣1)=(n﹣1)2n+2(n≥2)
又S1=2,符合Sn的形式,
∴Sn=(n﹣1)2n+2(n∈N*)
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【題目】植樹節(jié)某班20名同學在一段直線公路一側植樹,每人植一棵,相鄰兩棵樹相距10米.開始時需將樹苗集中放置在某一樹坑旁邊,使每位同學從各自樹坑出發(fā)前來領取樹苗往返所走的路程總和最小,這個最小值為 (米).
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【題目】已知圓C:x2+y2=4,點P為直線x+2y﹣9=0上一動點,過點P向圓C引兩條切線PA、PB,A、B為切點,則直線AB經(jīng)過定點( )
A.
B.
C.(2,0)
D.(9,0)
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【題目】已知函數(shù)f(x)=+ax,aR,
(1)討論函數(shù)f(x)的單調區(qū)間;
(2)求證:≥x;
(3)求證:當a≥-2時,x[1,+ ∞),f(x)+lnx≥a+1恒成立.
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【題目】設f(x)= ,曲線y=f(x)在點(1,f(1))處的切線與直線x+y+1=0垂直. (Ⅰ)求a的值;
(Ⅱ)若對于任意的x∈[1,+∞),f(x)≤m(x﹣1)恒成立,求m的取值范圍;
(Ⅲ)求證:ln(4n+1)≤16 (n∈N*).
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【題目】某市居民自來水收費標準如下:每戶每月用水不超過4噸時,每噸為1.80元,當用水超過4噸時,超過部分每噸3.00元,某月甲、乙兩戶共交水費y元,已知甲、乙兩戶該月用水量分別為5x噸、3x噸.
(1)求y關于x的函數(shù);
(2)若甲、乙兩戶該月共交水費26.4元,分別求出甲、乙兩戶該月的用水量和水費.
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【題目】如圖,四棱錐P﹣ABCD的底面是直角梯形,AB∥CD,AB⊥AD,△PAB和△PAD是兩個邊長為2的正三角形,DC=4,O為BD的中點,E為PA的中點.
(Ⅰ)求證:PO⊥平面ABCD;
(Ⅱ)求證:OE∥平面PDC;
(Ⅲ)求面PAD與面PBC所成角的大。
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【題目】如圖,某城市有一塊半徑為40m的半圓形綠化區(qū)域(以O為圓心,AB為直徑),現(xiàn)對其進行改建,在AB的延長線上取點D,OD=80m,在半圓上選定一點C,改建后綠化區(qū)域由扇形區(qū)域AOC和三角形區(qū)域COD組成,其面積為Scm2 . 設∠AOC=xrad.
(1)寫出S關于x的函數(shù)關系式S(x),并指出x的取值范圍;
(2)試問∠AOC多大時,改建后的綠化區(qū)域面積S取得最大值.
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