Question

18．在銳角△ABC中，內角A，B，C分別對應的邊是a，b，c．若b²-a²=ac，則$\frac{1}{tanA}$-$\frac{1}{tanB}$的取值范圍是（1，$\frac{2\sqrt{3}}{3}$）．

Answer 1

分析 根據正弦定理化簡已知式子，由二倍角的余弦公式變形、和差化積公式和誘導公式化簡后，由內角的范圍和正弦函數的性質求出A與B關系，由銳角三角形的條件求出B的范圍，利用商得關系、兩角差的正弦公式化簡所求的式子，由正弦函數的性質求出所求式子的取值范圍．

解答 解：∵b²-a²=ac，
∴由正弦定理得，sin²B-sin²A=sinAsinC，
由二倍角公式可知：$\frac{1-cos2B}{2}$-$\frac{1-cos2A}{2}$=sinAsinC，
∴$\frac{cos2A-cos2B}{2}$=sinAsinC，
和差化積公式得cos2A-cos2B=-2sin（A+B）sin（A-B），代入上式得，
-sin（A+B）sin（A-B）=sinAsinC，
∵sin（A+B）=sinC≠0，∴-sin（A-B）=sinA，即sin（B-A）=sinA，
在△ABC中，B-A=A，得B=2A，則C=π-3A，
∵△ABC為銳角三角形，
∴$\left\{\begin{array}{l}{0＜2A＜\frac{π}{2}}\\{0＜π-3A＜\frac{π}{2}}\end{array}\right.$，
∴$\frac{π}{6}$＜A＜$\frac{π}{4}$，$\frac{π}{3}$＜B＜$\frac{π}{2}$，
$\frac{1}{tanA}$-$\frac{1}{tanB}$=$\frac{cosAsinB-sinAcosB}{sinAsinB}$=$\frac{sin（B-A）}{sinAsinB}$=$\frac{1}{sinB}$，
$\frac{π}{3}$＜B＜$\frac{π}{2}$，$\frac{\sqrt{3}}{2}$＜sinB＜1，
1＜$\frac{1}{sinB}$＜$\frac{2\sqrt{3}}{3}$，
$\frac{1}{tanA}$-$\frac{1}{tanB}$
1＜$\frac{1}{tanA}$-$\frac{1}{tanB}$＜$\frac{2\sqrt{3}}{3}$，
故答案為：（1，$\frac{2\sqrt{3}}{3}$）．

點評 本題考查了正弦定理，三角恒等變換中公式，以及正弦函數的性質，涉及知識點多、公式多，綜合性強，考查化簡、變形能力，屬于中檔題．