【題目】已知函數(shù),且.

1)求

2)證明:存在唯一極大值點(diǎn),且.

【答案】1;(2)證明見解析.

【解析】

1)根據(jù)函數(shù)解析式變形為,可知.構(gòu)造函數(shù),并求得其導(dǎo)函數(shù),通過討論的不同取值范圍,分析函數(shù)的單調(diào)性及最值,即可求得.

2)求得導(dǎo)函數(shù).并構(gòu)造函數(shù),求得.根據(jù)導(dǎo)函數(shù)判斷出的單調(diào)區(qū)間,并求得,從而可知唯一的零點(diǎn).,并判斷的單調(diào)情況,即可得知存在唯一極大值點(diǎn).因?yàn)?/span>,代入方程表示為,再代入即可結(jié)合證明不等式成立.

1)因?yàn)?/span>,,所以,

構(gòu)造函數(shù),,,

,,上單調(diào)遞增,則當(dāng)時(shí),矛盾,舍去;

,,則當(dāng)時(shí),,上單調(diào)遞增,矛盾,舍去;

,,則當(dāng)時(shí),,

上單調(diào)遞減,矛盾,舍去;

,則當(dāng)時(shí),,當(dāng)時(shí),,

上單調(diào)遞減,上單調(diào)遞增,

,,滿足題意;

綜上所述,.

2)證明:由(1)可知,,

構(gòu)造函數(shù),,

上單調(diào)遞增,,

故當(dāng)時(shí),,當(dāng)時(shí),,

上單調(diào)遞減,上單調(diào)遞增,

,,,

結(jié)合零點(diǎn)存在性定理知,在區(qū)間存在唯一實(shí)數(shù),使得,

當(dāng)時(shí),,當(dāng)時(shí),,當(dāng)時(shí),,

單調(diào)遞增,單調(diào)遞減,單調(diào)遞增,

存在唯一極大值點(diǎn),因?yàn)?/span>,所以,

,

因?yàn)?/span>,所以.

練習(xí)冊系列答案
相關(guān)習(xí)題

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【題目】在平面直角坐標(biāo)系xoy中,以坐標(biāo)原點(diǎn)O為極點(diǎn),x軸正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系。已知曲線C的極坐標(biāo)方程為,過點(diǎn)的直線l的參數(shù)方程為(為參數(shù)),直線l與曲線C交于M、N兩點(diǎn)。

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(2)若成等比數(shù)列,求a的值。

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1)求甲、乙兩戶花農(nóng)連續(xù)5日的日均銷售量,并比較兩戶花農(nóng)連續(xù)5日銷售量的穩(wěn)定性;

2)從兩戶花農(nóng)連續(xù)5日的銷售量中各隨機(jī)抽取一個(gè),求甲的銷售量比乙的銷售量高的概率·

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【題目】已知橢圓的左、右焦點(diǎn)分別為,長軸長為4,且過點(diǎn).

1)求橢圓C的方程;

2)過的直線l交橢圓C兩點(diǎn),過Ax軸的垂線交橢圓C與另一點(diǎn)QQ不與重合).設(shè)的外心為G,求證為定值.

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【題目】已知函數(shù)處的切線方程為.

1)求的值;

2)當(dāng)時(shí),恒成立,求整數(shù)的最大值.

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【題目】如圖,在四棱錐中,已知底面,,,,,中點(diǎn).

1)求證:平面平面;

2)若四棱錐的體積為1,求點(diǎn)到平面的距離.

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1)當(dāng)時(shí),恒成立,求實(shí)數(shù)的值;

2)請指出,的大小,并且證明;

3)求證:.

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【題目】足球是世界普及率最高的運(yùn)動(dòng),我國大力發(fā)展校園足球.為了解本地區(qū)足球特色學(xué)校的發(fā)展?fàn)顩r,社會調(diào)查小組得到如下統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù):

年份x

2014

2015

2016

2017

2018

足球特色學(xué)校y(百個(gè))

0.30

0.60

1.00

1.40

1.70

1)根據(jù)上表數(shù)據(jù),計(jì)算yx的相關(guān)系數(shù)r,并說明yx的線性相關(guān)性強(qiáng)弱.

(已知:,則認(rèn)為yx線性相關(guān)性很強(qiáng);,則認(rèn)為yx線性相關(guān)性一般;,則認(rèn)為yx線性相關(guān)性較):

2)求y關(guān)于x的線性回歸方程,并預(yù)測A地區(qū)2020年足球特色學(xué)校的個(gè)數(shù)(精確到個(gè)).

參考公式和數(shù)據(jù):,

.

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