Question

數(shù)列{2ⁿ-1}的前n項1，3，7，…，2ⁿ-1組成集合，從集合A_n中任取k（k=1，2，3，…，n）個數(shù)，其所有可能的k個數(shù)的乘積的和為T_k（若只取一個數(shù)，規(guī)定乘積為此數(shù)本身），記S_n=T₁+T₂+…+T_n．例如當n=1時，A₁={1}，T₁=1，S₁=1；當n=2時，A₂={1，3}，T₁=1+3，T₂=1×3，S₂=1+3+1×3=7．則當n=3時，S₃=    ；試寫出S_n=    ．

Answer 1

【答案】分析：根據(jù)S_n=T₁+T₂+…+T_n的意義即可求得n=3時S₃．根據(jù)S₁，S₂，S₃，猜想-1，然后利用數(shù)學歸納法證明即可．
解答：解：當n=3時，A₃={1，3，7}，
T₁=1+3+7=11，T₂=1×3+1×7+3×7=31，T₃=1×3×7=21，
所以S₃=11+31+21=63；
由S₁=1=2¹-1=-1，S₂=7=2³-1=-1，S₃=63=2⁶-1=-1，猜想-1，下面證明：
（1）易知n=1時成立；
（2）假設n=k時-1，
則n=k+1時，S_k+1=T₁+T₂+T₃+…+T_k+1
=[T₁′+（2^k+1-1）]+[T₂′+（2^k+1-1）T₁′]+[T₃′+（2^k+1-1）T₂′]+…+[T_k′+（2^k+1-1）]（其中T_i′，i=1，2，…，k，為n=k時可能的k個數(shù)的乘積的和為T_k），
=（）+（2^k+1-1）+（2^k+1-1）（）
=S_k+（2^k+1-1）+（2^k+1-1）S_k
=2^k+1（-1）+（2^k+1-1）
=-1=-1，即n=k時-1也成立，
綜合（1）（2）知對n∈N^*-1成立．
所以-1．
故答案為：63；-1．
點評：本題考查等差、等比數(shù)列的綜合，考查合情推理，考查學生分析解決問題的能力，具有一定綜合性，難度較大，能力要求較高．