Question

8．我校服裝廠主要生產(chǎn)學(xué)生校服和工廠工作服，已知服裝廠的年固定成本為10萬元，每生產(chǎn)千件需另投入2.7萬元，服裝廠年內(nèi)共生產(chǎn)此種產(chǎn)品x千套，并且全部銷售完，每千套的銷售收入為f（x）萬元，且f（x）=$\left\{\begin{array}{l}{10.8-\frac{1}{30}{x}^{2}（0≤x≤10）}\\{\frac{108}{x}-\frac{1000}{3{x}^{2}}（x＞10）}\end{array}\right.$．
（1）寫出年利潤 （萬元）關(guān)于年產(chǎn)品 （千套）的函數(shù)解析式；
（2）年產(chǎn)量為多少千套時(shí)，服裝廠所獲年利潤最大？（注：年利潤=年銷售收入-年總成本）

Answer 1

分析 （1）當(dāng)0＜x≤10時(shí)，$P=xf（x）-（10+2.7x）=8.1x-\frac{x^3}{30}-10$，當(dāng)x＞10時(shí)，$P=xf（x）-（10+2.7x）=98-\frac{1000}{3x}-2.7x$，由此能求出年利潤P（萬元）關(guān)于該特許商品x（千件）的函數(shù)解析式．
（2）當(dāng)0＜x≤10時(shí)，由P′=0，得x=9，推導(dǎo)出當(dāng)x=9時(shí)，P取最大值，且P_max=38.6；當(dāng)x＞10時(shí)，P≤38．由此得到當(dāng)年產(chǎn)量為9千件時(shí)，該公司在該特許商品生產(chǎn)中獲利最大．

解答 解：（1）當(dāng)0＜x≤10時(shí)，$P=xf（x）-（10+2.7x）=8.1x-\frac{x^3}{30}-10$
當(dāng)x＞10時(shí)，$P=xf（x）-（10+2.7x）=98-\frac{1000}{3x}-2.7x$，
∴P=$\left\{\begin{array}{l}{8.1x-\frac{{x}^{3}}{30}-10，0＜x≤10}\\{98-\frac{1000}{3x}-2.7x，x＞10}\end{array}\right.$；（6分）
（2）（Ⅱ）①當(dāng)0＜x≤10時(shí)，
由P′=8.1-$\frac{{x}^{2}}{10}$=0，得x=9，且當(dāng)x∈（0，9）時(shí)，P′＞0，
當(dāng)x∈（9，10）時(shí)，P′＜0．
∴當(dāng)x=9時(shí)，P取最大值，且P_max=8.1×9-$\frac{1}{30}×93$-10=38.6．…（9分）
②當(dāng)x＞10時(shí)，P=98-（$\frac{1000}{3x}+2.7x$）＜38，
當(dāng)且僅當(dāng)$\frac{1000}{3x}=2.7x$，即x=$\frac{100}{9}$時(shí)，P_max=38．
綜合①、②知x=9時(shí)，P取最大值．…（11分）
所以當(dāng)年產(chǎn)量為9千件時(shí)，該公司在該特許商品生產(chǎn)中獲利最大．…（12分）

點(diǎn)評(píng) 本題考查函數(shù)的解析式的求法，考查年利潤的最大值的求法．解時(shí)要認(rèn)真審題，注意分類討論思想和等價(jià)轉(zhuǎn)化思想的合理運(yùn)用．