Question

第26屆世界大學(xué)生夏季運(yùn)動會2011年8月12日至23日在深圳舉行，為了搞好接待工作，組委會在深圳大學(xué)數(shù)學(xué)學(xué)院招募了12名男志愿者和18名女志愿者．將這30名志愿者的身高編成如下莖葉圖（單位：cm），這30名志愿者的身高如下：

若身高在175cm以上（包括175cm）定義為“高個(gè)子”，身高在175cm以下定義為“非高個(gè)子”，且只有“女高個(gè)子”才能擔(dān)任“禮儀小姐”．
（1）如果用分層抽樣的方法從“高個(gè)子”和“非高個(gè)子”中抽取5人，再從這5人中選2人，那么至少有一人是“高個(gè)子”的概率是多少？
（2）若從所有“高個(gè)子”中選3名志愿者，用ξ表示所選志愿者中能擔(dān)任“禮儀小姐”的人數(shù)，試寫出ξ的分布列，并求ξ的數(shù)學(xué)期望．
（注：莖葉圖：將數(shù)組中的數(shù)按位數(shù)進(jìn)行比較，將數(shù)的大小基本不變或變化不大的位作為一個(gè)主干（莖），將變化大的位的數(shù)作為分枝（葉），列在主干的后面，這樣就可以清楚地看到每個(gè)主干后面的幾個(gè)數(shù)，每個(gè)數(shù)具體是多少．如157cm，莖是15，葉是7）

Answer 1

分析：（1）由題意及莖葉圖，有“高個(gè)子”12人，“非高個(gè)子”18人，利用用分層抽樣的方法，每個(gè)人被抽中的概率是530=16，利用對立事件即可；
（2）由于從所有“高個(gè)子”中選3名志愿者，用ξ表示所選志愿者中能擔(dān)任“禮儀小姐”的人數(shù)，利用離散型隨機(jī)變量的定義及題意可知ξ的取值為0，1，2，3在利用古典概型的概率公式求出每一個(gè)值對應(yīng)事件的概率，有期望的公式求出即可．

解答：解：（1）根據(jù)莖葉圖，有“高個(gè)子”12人，“非高個(gè)子”18人，
用分層抽樣的方法，每個(gè)人被抽中的概率是

5

30

=

1

6

，
所以選中的“高個(gè)子”有12×

1

6

=2人，“非高個(gè)子”有18×

1

6

=3人．
用事件A表示“至少有一名“高個(gè)子”被選中”，
則它的對立事件A?表示“沒有一名“高個(gè)子”被選中”，
則P（A）=1-

C 2 3

C 2 5

=1-

3

10

=

7

10

．
因此，至少有一人是“高個(gè)子”的概率是

7

10

．
（2）依題意，ξ的取值為0，1，2，3．　　　　　　　　　　
P（ξ=0）=

C 3 8

C 3 12

=

14

55

，
P（ξ=1）=

C 1 4 • C 2 8

C 3 12

=

28

55

，
P（ξ=2）=

C 2 4 • C 1 8

C 3 12

=

12

55

，
P（ξ=3）=

C 3 4

C 3 12

=

1

55

．
因此，ξ的分布列如下：

ξ	0	1	2	3
P	14 55	28 55	12 55	1 55

∴Eξ=0×

14

55

+1×

28

55

+2×

12

55

+3×

1

55

=1．

點(diǎn)評：本題主要考查莖葉圖、分層抽樣、隨機(jī)事件的概率、對立事件的概率、隨機(jī)變量的分布列以及數(shù)學(xué)期望等基礎(chǔ)知識，考查運(yùn)用概率統(tǒng)計(jì)知識解決簡單實(shí)際問題的數(shù)據(jù)處理能力和應(yīng)用意識．