Question

【題目】設(shè)函數(shù)f（x）=|x-a|+x，其中a＞0．

（1）當(dāng)a=3時(shí)，求不等式f（x）≥x+4的解集；

（2）若不等式f（x）≥x+2a2在x∈[1，3]恒成立，求實(shí)數(shù)a的取值范圍．

Answer 1

【答案】（1）{x|x≤-1或x≥7}；（2）-1

【解析】

（1）分情況去絕對(duì)值解不等式可得；

（2）由題意可得：|x-a|≥2a2在x∈[1，3]恒成立，再按照a與區(qū)間[1，3]的關(guān)系分3種情況討論．

（1）當(dāng)a=3時(shí)，不等式f（x）≥x+4，即|x-3|+x≥x+4，即|x-3|≥4，

x≥7或x≤-1

故不等式f（x）≥x+4的解集為{x|x≤-1或x≥7}

（2）由題意可得：|x-a|≥2a2在x∈[1，3]恒成立，

①當(dāng)a＜1時(shí)，則x-a＞0，∵x-a≥2a2在x∈[1，3]上恒成立，∴1-a≥2a2，解得-1；

②當(dāng)1≤a≤3時(shí)，∵|x-a|≥2a2在x∈[1，3]上恒成立，∴當(dāng)x=a時(shí)，0≥2a2，解得a=0舍去；

③當(dāng)a≥3時(shí)，則x-a＜0，∴-x+a≥2a2在[1，3]上恒成立，∴-3+a≥2a2，此不等式無解；

綜上，-1．