Question

已知橢圓過(guò)點(diǎn)P(1，

3

2

)，其焦點(diǎn)為F₁（-1，0）和F₂（1，0）．
（1）求橢圓的方程．
（2）過(guò)F₁作傾角為45°的直線交橢圓于A、B兩點(diǎn)，求三角形ABF₂的面積．

Answer 1

考點(diǎn)：橢圓的簡(jiǎn)單性質(zhì)

專題：計(jì)算題,直線與圓,圓錐曲線的定義、性質(zhì)與方程

分析：（1）設(shè)出橢圓方程，求出c，再由橢圓的定義，求得a，由a，b，c的關(guān)系，即可得到橢圓方程；
（2）聯(lián)立直線方程和橢圓方程，消去y，運(yùn)用韋達(dá)定理和弦長(zhǎng)公式，點(diǎn)到直線的距離公式，結(jié)合三角形的面積公式，即可得到．

解答： 解：（1）設(shè)橢圓方程為

x2

a2

+

y2

b2

=1(a＞b＞0)，
由條件知橢圓焦距2c=2，得c=1，
又橢圓過(guò)點(diǎn)P(1，

3

2

)，其焦點(diǎn)為F₁（-1，0）和F₂（1，0），
則橢圓長(zhǎng)軸長(zhǎng)2a=|AF1|+|AF2|=

( 3 2 -0)2+(1+1)2

+

3

2

=

5

2

+

3

2

=4，
所以a=2，則b²=3，
所求橢圓方程為：

x2

4

+

y2

3

=1；
（2）由題意，直線l的方程為y=x+1，
聯(lián)立直線與橢圓方程消去y，得7x²+8x-8=0，
設(shè)A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），則x1+x2=-

8

7

，x1x2=-

8

7

，
由弦長(zhǎng)公式：|AB|=

1+12

|x2-x1|=

2

(x1+x2)2-4x1x2

=

24

7

，
點(diǎn)F₂（1，0）到直線AB的距離d=

|1-0+1|

2

=

2

，
∴三角形ABF₂的面積S=

1

2

|AB|•d=

12

7

2

．

點(diǎn)評(píng)：本題考查橢圓的定義、方程和性質(zhì)，考查聯(lián)立直線方程和橢圓方程，消去未知數(shù)，運(yùn)用弦長(zhǎng)公式，考查點(diǎn)到直線的距離公式和三角形的面積公式，屬于中檔題．