Question

（2013•海淀區(qū)一模）在四棱錐P-ABCD中，PA⊥平面ABCD，△ABC是正三角形，AC與BD的交點M恰好是AC中點，又PA=AB=4，∠CDA=120°，點N在線段PB上，且PN=

2

．
（Ⅰ）求證：BD⊥PC；
（Ⅱ）求證：MN∥平面PDC；
（Ⅲ）求二面角A-PC-B的余弦值．

Answer 1

分析：（Ⅰ）由正三角形的性質可得BD⊥AC，利用線面垂直的性質可知PA⊥BD，再利用線面垂直的判定定理即可證明BD⊥PC；
（Ⅱ）利用已知條件分別求出BM、MD、PB，得到

BM

MD

=

BN

NP

，即可得到MN∥PD，再利用線面平行的判定定理即可證明；
（Ⅲ）通過建立空間直角坐標系，利用兩個平面的法向量的夾角即可得到二面角的平面角．

解答：證明：（I）∵△ABC是正三角形，M是AC中點，
∴BM⊥AC，即BD⊥AC．
又∵PA⊥平面ABCD，∴PA⊥BD．
又PA∩AC=A，∴BD⊥平面PAC．
∴BD⊥PC．
（Ⅱ）在正△ABC中，BM=2

3

．
在△ACD中，∵M為AC中點，DM⊥AC，∴AD=CD．
∠ADC=120°，∴DM=

2 3

3

，
∴

BM

MD

=

3

1

．
在等腰直角△PAB中，PA=AB=4，PB=4

2

，
∴

BN

NP

=

3

1

，
∴

BN

NP

=

BM

MD

，
∴MN∥PD．
又MN?平面PDC，PD?平面PDC，
∴MN∥平面PDC．
（Ⅲ）∵∠BAD=∠BAC+∠CAD=90°，
∴AB⊥AD，分別以AB，AD，AP為x軸，y軸，z軸建立如圖的空間直角坐標系，
∴B（4，0，0），C(2，2

3

，0)，D(0，

4 3

3

，0)，P（0，0，4）．
由（Ⅱ）可知，

DB

=(4，-

4 3

3

，0)為平面PAC的法向量．

PC

=(2，2

3

，-4)，

PB

=(4，0，-4)．
設平面PBC的一個法向量為

n

=(x，y，z)，
則

n • PC =0 n • PB =0

，即

2x+2 3 y-4z=0 4x-4z=0

，
令z=3，得x=3，y=

3

，則平面PBC的一個法向量為

n

=(3，

3

，3)，
設二面角A-PC-B的大小為θ，則cosθ=

n • DB

| n | | DB |

=

7

7

．
所以二面角A-PC-B余弦值為

7

7

．

點評：熟練掌握正三角形的性質、線面垂直的判定與性質定理、平行線分線段成比例在三角形中的逆定理應用、通過建立空間直角坐標系并利用兩個平面的法向量的夾角得到二面角的平面角是解題的關鍵．