Question

已知O為△ABC的外心，AB=4，AC=2，∠BAC=120°．若

AO

=λ1

AB

+λ2

AC

，則λ₁+λ₂=

 

．

Answer 1

考點：向量加減混合運算及其幾何意義

專題：平面向量及應用

分析：通過建立直角坐標系，利用相互垂直的直線斜率之間的關系、外心的性質可得外心O的坐標，再利用向量的坐標運算及其相等即可得出．

解答： 解：如圖：以A為原點，以AB所在的直線為x軸，建立直角系：
則A（0，0），B （4，0），C（-1，

3

）），
∵O為△ABC的外心，
∴O在AB的中垂線 m：x=2 上，又在AC的中垂線 n 上，
AC的中點(-

1

2

，

3

2

)，∵k_AC=-

3

，
∴得到直線AC的垂直平分線n的斜率k_n=

3

3

．
其方程為：y-

3

2

=

3

3

(x+

1

2

)．化為y=

3

3

x+

2

3

3

．
把x=2代入上述方程可得：y=

4

3

3

．
∴外心O(2，

4 3

3

)．
∵

AO

=λ1

AB

+λ2

AC

，
∴(2，

4 3

3

)=λ1(4，0)+λ2(-1，

3

)，
∴

2=4λ1-λ2 4 3 3 = 3 λ2

，解得λ2=

4

3

，λ₁=

5

6

．
∴λ₁+λ₂=

13

6

．
故選為：

13

6

．

點評：本題考查了相互垂直的直線斜率之間的關系、外心的性質、向量的坐標運算及其相等、平面向量基本定理，屬于中檔題題．