Question

3．已知函數(shù)f（x）=$\frac{2x-a}{{x}^{2}+3}$在區(qū)間[-1，1]上是增函數(shù)．
（1）求實數(shù)a的取值范圍的組成集合A．
（2）關于x的方程f（x）=$\frac{1}{x}$的兩個非零實根為x₁，x₂．試問是否存在實數(shù)m，使得不等式m²+tm+2≥|x₁-x₂|對任意a∈A及t∈[-1，1]恒成立，若存在，求m的取值范圍；若不存在，請說明理由．

Answer 1

分析 （1）令f′（x）≥0在[01，1]上恒成立，根據二次函數(shù)的性質列出不等式得出a的取值范圍；
（2）根據根與系數(shù)的關系得出|x₁-x₂|的最大值，利用二次函數(shù)的性質列出不等式得出m的范圍．

解答 解：（1）f′（x）=$\frac{-2（{x}^{2}-ax-3）}{（{x}^{2}+3）^{2}}$，∵f（x）在區(qū)間[-1，1]上是增函數(shù)，
∴f′（x）≥0在[-1，1]上恒成立，即x²-ax-3≤0在[-1，1]上恒成立．
令g（x）=x²-ax-3，則$\left\{\begin{array}{l}{g（-1）=1-a-3≤0}\\{g（1）=1+a-3≤0}\end{array}\right.$，
解得-2≤a≤2，∴A={a|-2≤a≤2}．
（2）由f（x）=$\frac{2x-a}{{x}^{2}+3}=\frac{1}{x}$得x²-ax-3=0，△=a²+12＞0．
∴x₁，x${\;}_{{\;}_{2}}$是方程x²-ax-3=0的兩個非零實根，且|x₁-x₂|=$\sqrt{{a}^{2}+12}$．
∵-2≤a≤2，∴2$\sqrt{3}$≤|x₁-x₂|≤4，
要使得不等式m²+tm+2≥|x₁-x₂|對任意a∈A及t∈[-1，1]恒成立，
只需m²+tm+2≥4，即m²+tm-2≥0對t∈[-1，1]恒成立，
∴$\left\{\begin{array}{l}{m＞0}\\{{m}^{2}-m-2≥0}\end{array}\right.$或$\left\{\begin{array}{l}{m＜0}\\{{m}^{2}+m-2≥0}\end{array}\right.$，
解得m≥2或m≤-2，
所以存在實數(shù)m，其范圍是m≥2或m≤-2．

點評 本題考查了導數(shù)與函數(shù)單調性的關系，函數(shù)恒成立問題，屬于中檔題．