Question

（14分）已知橢圓的左、右兩個(gè)頂點(diǎn)分別為、．曲線是以、兩點(diǎn)為頂點(diǎn)，離心率為的雙曲線．設(shè)點(diǎn)在第一象限且在曲線上，直線與橢圓相交于另一點(diǎn)．

（1）求曲線的方程；

（2）設(shè)點(diǎn)、的橫坐標(biāo)分別為、，證明：；

（3）設(shè)與（其中為坐標(biāo)原點(diǎn)）的面積分別為與，且，求 的取值范圍。

 

Answer 1

【答案】

（1）；（2）聯(lián)立方程組，

整理，得，解得或．所以．同理可得，，所以．   （3）。

【解析】

試題分析：依題意可得，．…………………1分

設(shè)雙曲線的方程為，

因?yàn)殡p曲線的離心率為，所以，即．

所以雙曲線的方程為．…………………3分

（2）證法1：設(shè)點(diǎn)、（，，），直線的斜率為（），

則直線的方程為，…………………4分

聯(lián)立方程組………………………5分

整理，得，

解得或．所以．…………………6分

同理可得，…………………………7分

所以．…………………………8分

證法2：設(shè)點(diǎn)、（，，），

則，．………………………………4分

因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic6/res/gzsx/web/STSource/2013032209193532818300/SYS201303220924464062419980_DA.files/image029.png">，所以，即．………………5分

因?yàn)辄c(diǎn)和點(diǎn)分別在雙曲線和橢圓上，所以，．

即，．………………6分

所以，即．………………7分

所以．…………………………………8分

證法3：設(shè)點(diǎn)，直線的方程為，……………4分

聯(lián)立方程組………………………5分

整理，得，

解得或．………………………6分

將代入，得，即．

所以．……………………………8分

（3）解：設(shè)點(diǎn)、（，，），

則，．

因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic6/res/gzsx/web/STSource/2013032209193532818300/SYS201303220924464062419980_DA.files/image049.png">，所以，即．………9分

因?yàn)辄c(diǎn)在雙曲線上，則，所以，即．

因?yàn)辄c(diǎn)是雙曲線在第一象限內(nèi)的一點(diǎn)，所以．…………10分

因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic6/res/gzsx/web/STSource/2013032209193532818300/SYS201303220924464062419980_DA.files/image055.png">，，

所以．………11分

由（2）知，，即．

設(shè)，則，

．

設(shè)，則，

當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，

所以函數(shù)在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減．

因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic6/res/gzsx/web/STSource/2013032209193532818300/SYS201303220924464062419980_DA.files/image070.png">，，

所以當(dāng)，即時(shí)，…………12分

當(dāng)，即時(shí)，．…………………………13分

所以的取值范圍為．…………………………………14分

說(shuō)明：由，得，給1分．

考點(diǎn)：橢圓的簡(jiǎn)單性質(zhì)；雙曲線的簡(jiǎn)單性質(zhì)。

點(diǎn)評(píng)：在圓錐曲線中經(jīng)常遇到求范圍問(wèn)題，這類問(wèn)題在題目中往往沒(méi)有給出不等關(guān)系，需要我們?nèi)�尋找。�?duì)于解決這類問(wèn)題通常有兩種方法：①當(dāng)題目中的條件和結(jié)論能明顯體現(xiàn)幾何特征及意義時(shí)，可考慮利用數(shù)形結(jié)合方法來(lái)求解或構(gòu)造參數(shù)滿足的不等式，通過(guò)不等式求得參數(shù)的范圍；②當(dāng)題目中的條件和結(jié)論能體現(xiàn)一種明確的函數(shù)關(guān)系時(shí)，可先建立目標(biāo)函數(shù)，進(jìn)而轉(zhuǎn)化為求解函數(shù)的值域。