Question

已知函數(shù)f（x）=log_a（x+1）-log_a（1-x），a＞0且a≠1．
（1）求f（x）的定義域；
（2）判斷f（x）的奇偶性并予以證明；
（3）若a＞1時(shí)，求使f（x）＞0的x的解集．

Answer 1

考點(diǎn)：函數(shù)奇偶性的判斷,函數(shù)的定義域及其求法

專題：函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用

分析：（1）根據(jù)函數(shù)成立的條件即可求f（x）的定義域；
（2）根據(jù)函數(shù)的奇偶性的定義即可判斷f（x）的奇偶性；
（3）若a＞1時(shí)，根據(jù)對(duì)數(shù)函數(shù)的性質(zhì)即可求使f（x）＞0的x的解集．

解答： 解：（1）要使函數(shù)有意義，則

x+1＞0 1-x＞0

，
解得-1＜x＜1，即函數(shù)f（x）的定義域?yàn)椋?1，1）；
（2）∵f（-x）=log_a（-x+1）-log_a（1+x）=-[log_a（x+1）-log_a（1-x）]=-f（x），
∴f（x）是奇函數(shù)．
（3）若a＞1時(shí)，由f（x）＞0得log_a（x+1）＞log_a（1-x），
則

-1＜x＜1 x+1＞1-x

，

-1＜x＜1 x＞0

，解得0＜x＜1，
故不等式的解集為（0，1）．

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查對(duì)數(shù)函數(shù)的定義域，奇偶性和不等式的求解，要求熟練對(duì)數(shù)函數(shù)的圖象和性質(zhì)．