Question

在四棱錐P－ABCD中，∠ABC＝∠ACD＝90°，∠BAC＝∠CAD＝60°，PA⊥平面ABCD，E為PD的中點，PA＝2AB＝2．

（Ⅰ）求四棱錐P－ABCD的體積V；

（Ⅱ）若F為PC的中點，求證PC⊥平面AEF；

 

 

Answer 1

【答案】

  （Ⅰ）V＝． （Ⅱ）見解析

【解析】(I)解本小題的關(guān)鍵是求底ABCD的面積.利用求解即可.

(II)證明線面垂直根據(jù)判定定理關(guān)鍵是證直線垂直這個平面內(nèi)的兩條相交直線.本小題可以證明：AF⊥PC, EF⊥PC即可

（Ⅰ）在Rt△ABC中，AB＝1，

∠BAC＝60°，∴BC＝，AC＝2．

在Rt△ACD中，AC＝2，∠CAD＝60°，

∴CD＝2，AD＝4．

∴S_ABCD＝

．……………… 3分

則V＝．     ……………… 5分

（Ⅱ）∵PA＝CA，F(xiàn)為PC的中點，

∴AF⊥PC．            ……………… 7分

∵PA⊥平面ABCD，∴PA⊥CD．

∵AC⊥CD，PA∩AC＝A，

∴CD⊥平面PAC．∴CD⊥PC．

∵E為PD中點，F(xiàn)為PC中點，

∴EF∥CD．則EF⊥PC．       ……… 11分

∵AF∩EF＝F，∴PC⊥平面AEF．