Question

（2011•嘉定區(qū)一模）定義x₁，x₂，…，x_n的“倒平均數(shù)”為

n

x1+x2+…+xn

（n∈N^*）．
（1）若數(shù)列{a_n}前n項的“倒平均數(shù)”為

1

2n+4

，求{a_n}的通項公式；
（2）設數(shù)列{b_n}滿足：當n為奇數(shù)時，b_n=1，當n為偶數(shù)時，b_n=2．若T_n為{b_n}前n項的倒平均數(shù)，求

lim

n→∞

Tn；
（3）設函數(shù)f（x）=-x²+4x，對（1）中的數(shù)列{a_n}，是否存在實數(shù)λ，使得當x≤λ時，f（x）≤

an

n+1

對任意n∈N^*恒成立？若存在，求出最大的實數(shù)λ；若不存在，說明理由．

Answer 1

分析：（1）設數(shù)列{a_n}的前n項和為S_n，由題意，Tn=

n

Sn

=

1

2n+4

，所以Sn=2n2+4n．由此能求出{a_n}的通項公式．
（2）設數(shù)列{b_n}的前n項和為S_n，則分n為偶數(shù)和n為奇數(shù)時，分別求出S_n，從而求出T_n．由此能求出

lim

n→∞

Tn．
（3）假設存在實數(shù)λ，使得當x≤λ時，f（x）≤

an

n+1

對任意n∈N^*恒成立，則-x²+4x≤

4n+2

n+1

對任意n∈N^*恒成立，令cn=

4n+2

n+1

，則數(shù)列{c_n}是遞增數(shù)列，由此能推導出存在最大的實數(shù)λ=1，使得當x≤λ時，f（x）≤

an

n+1

對任意n∈N^*恒成立．

解答：解：（1）設數(shù)列{a_n}的前n項和為S_n，
由題意，Tn=

n

Sn

=

1

2n+4

，
所以Sn=2n2+4n．  …（1分）
所以a₁=S₁=6，當n≥2時，a_n=S_n-S_n-1=4n+2，
而a₁也滿足此式．…（2分）
所以{a_n}的通項公式為a_n=4n+2．…（1分）
（2）設數(shù)列{b_n}的前n項和為S_n，則當n為偶數(shù)時，Sn=

3n

2

，…（1分）
當n為奇數(shù)時，Sn=

3(n-1)

2

+1=

3n-1

2

．  …（1分）
所以Tn=

2 3 ，n為奇數(shù) 2n 3n-1 ，n為偶數(shù)

．   …（3分）
所以

lim

n→∞

Tn=

2

3

． …（2分）
（3）假設存在實數(shù)λ，使得當x≤λ時，f（x）≤

an

n+1

對任意n∈N^*恒成立，
則-x²+4x≤

4n+2

n+1

對任意n∈N^*恒成立，…（1分）
令cn=

4n+2

n+1

，因為cn+1-cn=

2

(n+1)(n+2)

＞0，
所以數(shù)列{c_n}是遞增數(shù)列，…（1分）
所以只要-x²+4x≤c₁，即x²-4x+3≥0，
解得x≤1或x≥3．…（2分）
所以存在最大的實數(shù)λ=1，
使得當x≤λ時，f（x）≤

an

n+1

對任意n∈N^*恒成立．（2分）

點評：本題考查數(shù)列的通項公式、極限的求法，探索實數(shù)是否存在．綜合性強，難度大，有一定的探索性，對數(shù)學思維的要求較高，解題時要認真審題，仔細解答．