Question

7．已知函數(shù)f（x）=$\frac{1}{3}$x³-$\frac{1}{2}$ax²-3x，且f（x）在x=-1處取得極值．
（Ⅰ）求a的值；
（Ⅱ）求f（x）在[0，5]上的最值．

Answer 1

分析 （Ⅰ）求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，通過函數(shù)的極值點(diǎn)，即可求a的值；
（Ⅱ）利用第一問，通過函數(shù)的極值點(diǎn)，判斷函數(shù)的單調(diào)性，求解函數(shù)的極值與端點(diǎn)值，即可得到結(jié)果．

解答 解：（Ⅰ）f'（x）=x²-ax-3，…．（1分）
因?yàn)閒（x）在x=-1處取得極值，所以f'（-1）=（-1）²+a-3=0，…．（4分）
解得a=2，
經(jīng)檢驗(yàn)，a=2符合題意，因此a=2．…．（6分）
（Ⅱ）由（Ⅰ）得$f（x）=\frac{1}{3}{x^3}-{x^2}-3x$，f'（x）=x²-2x-3=（x+1）（x-3），
令f'（x）=0，解得x₁=-1，x₂=3…．（8分）
當(dāng)x變化時(shí)，f'（x）、f（x）的變化情況如表

x	0	（0，3）	3	（3，5）	5
f′（x）	0	-	0	+	0
f（x）	0	↘	-9	↗	$\frac{5}{3}$

…（10分）
由上表知：
當(dāng)x=5時(shí)，f（x）有最大值$\frac{5}{3}$；當(dāng)x=3時(shí)，f（x）有最小值-9．…（12分）

點(diǎn)評(píng) 本題考查函數(shù)的導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用，函數(shù)的極值以及函數(shù)的單調(diào)性函數(shù)的最值的求法，考查計(jì)算能力．