Question

已知各項均為正數(shù)的等差數(shù)列{a_n}的前以項和為S_n，若S₃=18，且a₁+1，a₂，a₃成等比數(shù)列．
（1）求{a_n}的通項公式；
（2）記b_n=

an

3n+1

(n∈N*)，求數(shù)列{bn}的前n項和Tn．

Answer 1

分析：（1）利用等差數(shù)列的通項公式、求和公式，結(jié)合等比數(shù)列的性質(zhì)可得

3a1+3d=18 (a1+d)2=(1+a1)(a1+2d)

，解可求d，a₁，代入等差數(shù)列的通項公式即可
（2）由（1）可得bn=

an

3n+1

=

3n

3n+1

=

n

3n

，利用錯位相減法可求

解答：解：（1）∵S₃=18，a₁+1，a₂，a₃成等比數(shù)列
∴a22=(a1+1)a3
∴

3a1+3d=18 (a1+d)2=(1+a1)(a1+2d)

解可得，d=3或d=-2（舍去），a₁=3
∴a_n=3+3（n-1）=3n
（2）∵bn=

an

3n+1

=

3n

3n+1

=

n

3n

∴T_n=1•

1

3

+2•

1

32

+…+n•

1

3n

1

3

Tn=1•

1

32

+2•

1

33

+…+

n-1

3n

+

n

3n+1

兩式相減可得，

2

3

Tn=

1

3

+

1

32

+…+

1

3n

-

n

3n+1

1 3 (1- 1 3n )

1- 1 3

-

n

3n+1

∴Tn=

3-3n-1

4

-

n

2•3n

點評：本題主要考查了等差數(shù)列的求和公式，通項公式的簡單應(yīng)用，數(shù)列求和的錯位相減求和方法的應(yīng)用是求解本題的關(guān)鍵