Question

在△ABC中，角A、B、C所對(duì)的邊分別為a、b、c，已知向量

m

=（cosA，cosB），

n

=（2c+b，a），且

m

⊥

n

．
（Ⅰ） 求角A的大�。�
（Ⅱ） 若a=4

3

，b+c=8，求△ABC的面積．

Answer 1

考點(diǎn)：正弦定理,平面向量數(shù)量積的運(yùn)算,余弦定理

專題：解三角形

分析：（Ⅰ）由向量垂直求得等式（2c+b）•cosA+acosB=0，利用正弦定理把邊轉(zhuǎn)化成角的正弦整理求得cosA的值，繼而求得A．
（Ⅱ）由余弦定理和已知條件求得bc，最后根據(jù)三角形面積公式求得答案．

解答： 解：（Ⅰ）∵

m

⊥

n

．
∴

m

•

n

=（2c+b）•cosA+acosB=0，
由正弦定理可得（2sinC+sinB）cosA+sinAcosB=0
整理得sinC+2sinCcosA=0
∵0＜C＜π，sinC＞0，
∴cosA=-

1

2

，A=

2π

3

（II）由余弦定理可得 a²=b²+c²-2bccosA，
48=b²+c²-bc=（b+c）²-bc=64-bc，即bc=16
故S=

1

2

bcsinA=

1

2

×16×

3

2

=4

3

．

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查了正弦定理和余弦定理的應(yīng)用，平面向量的基本知識(shí)．利用正弦定理和余弦定理進(jìn)行三角形邊角問(wèn)題的轉(zhuǎn)化．