試題分析:(1)先求
的導(dǎo)數(shù)
,利用
求出
的單調(diào)區(qū)間,從而判斷出函數(shù)
在何處取得最小值以及最小值是多少.(2)(ⅰ)當(dāng)
時(shí),
的圖象與
的圖象交點(diǎn)的個(gè)數(shù)等于函數(shù)
的零點(diǎn)的個(gè)數(shù);可利用導(dǎo)數(shù)探究函數(shù)
的單調(diào)性,作函數(shù)有一零的證據(jù)之一;(ⅱ)當(dāng)
時(shí),
的圖象恒在
的圖象上方,等價(jià)于
在
上恒成立,利用
的導(dǎo)數(shù)研究其單調(diào)性,注意參變量
,對(duì)函數(shù)單調(diào)性及最值的影響,適時(shí)進(jìn)行分類討論.
試題解析:(1)求導(dǎo)數(shù),得f ′(x)=e
x-1.
令f ′(x)=0,解得x=0.
當(dāng)x<0時(shí),f ′(x)<0,∴f(x)在(-∞,0)上是減函數(shù);
當(dāng)x>0時(shí),f ′(x)>0,∴f(x)在(0,+∞)上是增函數(shù).
故f(x)在x=0處取得最小值f(0)=0. 4分
(2)設(shè)h(x)=f(x)-g(x)=e
x-1-x-ax
2,則h′(x)=e
x-1-2ax.[
(。┊(dāng)a=
時(shí),y=e
x-1-x的圖象與y=ax
2的圖象公共點(diǎn)的個(gè)數(shù)等于
h(x)=e
x-1-x-
x
2零點(diǎn)的個(gè)數(shù).
∵h(yuǎn)(0)=1-1=0,∴h(x)存在零點(diǎn)x=0.
由(1),知e
x≥1+x,∴h′(x)=e
x-1-x≥0,
∴h(x)在R上是增函數(shù),∴h(x)在R上有唯一的零點(diǎn).
故當(dāng)a=
時(shí),y=f(x)的圖象與y=g(x)的圖象有唯一的公共點(diǎn). 9分
(ⅱ)當(dāng)x>0時(shí),y=f(x)的圖象恒在y=g(x)的圖象的上方
?當(dāng)x>0時(shí),f(x)>g(x),即h(x)=e
x-1-x-ax
2>0恒成立.
由(1),知e
x≥1+x(當(dāng)且僅當(dāng)x=0時(shí)等號(hào)成立),
故當(dāng)x>0時(shí),e
x>1+x.
h′(x)=e
x-1-2ax>1+x-1-2ax=(1-2a)x,
從而當(dāng)1-2a≥0,即a≤
時(shí),h′(x)≥0(x>0),
∴h(x)在(0,+∞)上是增函數(shù),又h(0)=0,
于是當(dāng)x>0時(shí),h(x)>0.
由e
x>1+x(x≠0),可得e
-x>1-x(x≠0),
從而當(dāng)a>
時(shí),h′(x)=e
x-1-2ax<e
x-1+2a(e
-x-1)=e
-x(e
x-1)(e
x-2a),
故當(dāng)x∈(0,ln2a)時(shí),h′(x)<0,
此時(shí)h(x)在(0,ln2a)上是減函數(shù),又h(0)=0,
于是當(dāng)x∈(0,ln2a)時(shí),h(x)<0.
綜上可知,實(shí)數(shù)a的取值范圍為(-∞,
]. 14分