Question

設數列{a_n}的前n項和為S_n（n∈N^*），關于數列{a_n}有下列四個命題：
①若a_n+1=a_n（n∈N^*），則{a_n}既是等差數列又是等比數列；
②若S_n=a_n²+b_n（a，b∈R），則{a_n}是等差數列；
③若S_n=1-（-1）ⁿ，則{a_n}是等比數列；
④若{a_n}是等差數列，則S_n，S_2n-S_n，S_3n-S_2n（n∈N^*）也成等差數列；
其中正確的命題是

 

（填上正確的序號）．

Answer 1

考點：等差關系的確定,等比關系的確定

專題：綜合題,等差數列與等比數列

分析：①只有a_n+1=a_n≠0時，{a_n}既是等差數列又是等比數列；
②由S_n=a_n²+b_n（a，b∈R），不能判斷{a_n}是等差數列；
③由S_n=1-（-1）ⁿ，利用前n項和與等比數列的定義，推出{a_n}是等比數列；
④{a_n}是等差數列時，根據前n項和與等差數列的定義，得出S_n，S_2n-S_n，S_3n-S_2n成等差數．

解答： 解：對于①，當a_n+1=a_n≠0時，{a_n}既是等差數列又是等比數列，否則不成立，∴①錯誤；
對于②，如a_n=n²，b_n=1時，S_n=a_n²+b_n=n⁴+1，{a_n}不是等差數列，∴②錯誤；
對于③，當S_n=1-（-1）ⁿ時，S_n+1=1-（-1）ⁿ⁺¹，
∴a_n+1=S_n+1-S_n=2•（-1）ⁿ，
a_n=2•（-1）^n-1，
∴

an+1

an

=-1為常數，
∴{a_n}是等比數列，③正確；
對于④，當{a_n}是等差數列時，S_n=na₁+

1

2

n（n-1）d，
S_2n-S_n=na_n+1+

1

2

n（n-1）d，
S_3n-S_2n=na_2n+1+

1

2

n（n-1）d，
∴（S_3n-S_2n）-（S_2n-S_n）=n（a_2n+1-a_n+1）=n²d，
（S_2n-S_n）-S_n=n（a_n+1-a₁）=n²d，
∴（S_3n-S_2n）-（S_2n-S_n）=（S_2n-S_n）-S_n，
即S_n，S_2n-S_n，S_3n-S_2n成等差數，∴④正確；
綜上，正確的命題是③④．
故答案為：③④．

點評：本題考查了等差與等比數列的定義與性質的應用問題，是綜合性題目．