已知函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)是,在處取得極值,且.
(Ⅰ)求的極大值和極小值;
(Ⅱ)記在閉區(qū)間上的最大值為,若對任意的總有成立,求的取值范圍;
(Ⅲ)設(shè)是曲線上的任意一點.當(dāng)時,求直線OM斜率的最小值,據(jù)此判斷與的大小關(guān)系,并說明理由.
(Ⅰ)極大值為,極小值為;(Ⅱ) ;(Ⅲ)直線斜率的最小值為4,.
解析試題分析:(Ⅰ)根據(jù)題意,先求m值,設(shè)原函數(shù)解析式,由,得原函數(shù)解析式,再求導(dǎo)函數(shù),列表求極值;(Ⅱ)由(Ⅰ)知函數(shù)在各個區(qū)間上的單調(diào)性,對分情況討論,分和兩種情況,分別找出這兩種情況下函數(shù)的最大值,使得成立,從而求出的取值范圍;(Ⅲ)當(dāng)時,求直線OM斜率表達式,得斜率最小值為4,據(jù)此判斷,,再利用導(dǎo)數(shù)的證明當(dāng)時,函數(shù)大于0 恒成立.
試題解析:解:(I)依題意,,解得, 1分
由已知可設(shè),因為,所以,
則,導(dǎo)函數(shù). 3分
列表:
由上表可知在處取得極大值為,1 (1,3) 3 (3,+∞) + 0 - 0 + ↗ 極大值4 ↘ 極小值0 ↗
在處取得極小值為. 5分
(Ⅱ)①當(dāng)時,由(I)知
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(本小題滿分12分)
已知函數(shù)f(x)=ex+ax-1(e為自然對數(shù)的底數(shù)).
(Ⅰ)當(dāng)a=1時,求過點(1,f(1))處的切線與坐標(biāo)軸圍成的三角形的面積;
(II)若f(x)x2在(0,1 )上恒成立,求實數(shù)a的取值范圍.
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已知為函數(shù)圖象上一點,O為坐標(biāo)原點,記直線的斜率.
(1)若函數(shù)在區(qū)間上存在極值,求實數(shù)m的取值范圍;
(2)當(dāng) 時,不等式恒成立,求實數(shù)的取值范圍;
(3)求證:.
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已知函數(shù).
(Ⅰ)若在實數(shù)集R上單調(diào)遞增,求的范圍;
(Ⅱ)是否存在實數(shù)使在上單調(diào)遞減.若存在求出的范圍,若不存在說明理由.
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