Question

13．（1）解不等式|x-1|+|x-4|≥5．
（2）求函數(shù)y=|x-1|+|x-4|+x²-4x的最小值．

Answer 1

分析 （1）通過(guò)當(dāng)x＜1時(shí)，當(dāng)1≤x≤4時(shí)，當(dāng)x＞4時(shí)，去掉絕對(duì)值符號(hào)，求解不等式的解集即可．
（2）利用絕對(duì)值不等式以及二次函數(shù)的最值求解即可．

解答 解：（1）當(dāng)x＜1時(shí)，1-x+4-x≥5，得x≤0，此時(shí)x≤0；
當(dāng)1≤x≤4時(shí)，x-1+4-x≥5，得3≥5，此時(shí)x∈～；
當(dāng)x＞4時(shí)，x-1+x-4≥5，得x≥5，此時(shí)x≥5．
綜上所述，原不等式的解集是（-∞，0]∪[5，+∞）．          …（5分）
（2）因?yàn)閨x-1|+|x-4|≥|（x-1）-（x-4）|=3，
當(dāng)且僅當(dāng)1≤x≤4時(shí)取等號(hào)；
x²-4x=（x-2）²-4≥-4，當(dāng)且僅當(dāng)x=2時(shí)取等號(hào)．
故|x-1|+|x-4|+x²-4x≥3-4=-1，當(dāng)x=2時(shí)取等號(hào)．
所以y=|x-1|+|x-4|+x²-4x的最小值為-1．…（10分）

點(diǎn)評(píng) 本題考查絕對(duì)值不等式的解法，函數(shù)的最值的求法，考查轉(zhuǎn)化思想以及計(jì)算能力．