Question

【題目】已知橢圓，是長(zhǎng)軸的一個(gè)端點(diǎn)，弦過(guò)橢圓的中心，點(diǎn)在第一象限，且，．

（1）求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；

（2）設(shè)、為橢圓上不重合的兩點(diǎn)且異于、，若的平分線總是垂直于軸，問(wèn)是否存在實(shí)數(shù)，使得？若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由；若存在，求取得最大值時(shí)的的長(zhǎng)．

Answer 1

【答案】(1) (2)

【解析】

（1）根據(jù)所給向量間的關(guān)系求出點(diǎn)的坐標(biāo)，又由得出半長(zhǎng)軸，再將點(diǎn)的坐標(biāo)代入橢圓方程解出，則可得橢圓方程；（2）由題意可得，設(shè)，則，將的直線方程與橢圓聯(lián)立解得的坐標(biāo)，進(jìn)而得到的坐標(biāo)，從而由斜率公式求得，證得，可得存在實(shí)數(shù)符合題意，先利用基本不等式求得，再求出的最大值.

（1）∵，∴，

∵．即，

∴是等腰直角三角形，

∵，∴，

而點(diǎn)在橢圓上，∴，，∴，

∴所求橢圓方程為．

（2）對(duì)于橢圓上兩點(diǎn)，，

∵的平分線總是垂直于軸，

∴與所在直線關(guān)于對(duì)稱，

，則，

∵，∴的直線方程為，①

的直線方程為，②

將①代入，得，③

∵在橢圓上，∴是方程③的一個(gè)根，

∴，

以替換，得到．

∴，

∵，，，弦過(guò)橢圓的中心，

∴，，∴，

∴，∴，

∴存在實(shí)數(shù)，使得，

，

當(dāng)時(shí)，即時(shí)取等號(hào)，

，

又， ，

∴取得最大值時(shí)的的長(zhǎng)為．