已知函數(shù).
(1)設(shè)函數(shù)求的極值.
(2)證明:在上為增函數(shù)。
(1) 當(dāng)時(shí),無(wú)極值;當(dāng)時(shí),在處取得極小值,無(wú)極大值。 (2)見(jiàn)解析
解析試題分析:(1) ,在求極值時(shí)要對(duì)參數(shù)討論,顯然當(dāng)時(shí)為增函數(shù),無(wú)極值,當(dāng)時(shí)可求得的根,再討論兩側(cè)的單調(diào)性;(2)要證明增函數(shù),可證明恒正,可再次對(duì)函數(shù)進(jìn)行求導(dǎo)研究其單調(diào)性與最值,只要說(shuō)明的最小值恒大于等于0即可.已知函數(shù)在一個(gè)區(qū)間上的單調(diào)性,可轉(zhuǎn)化為導(dǎo)函數(shù)在這個(gè)區(qū)間上恒正或恒負(fù)問(wèn)題,變?yōu)橐粋(gè)恒成立問(wèn)題,可用相應(yīng)函數(shù)的整體最值來(lái)保證,若求參數(shù)范圍可以采用常數(shù)分離法.
試題解析:(1)由題意:
①當(dāng)時(shí),,為上的增函數(shù),所以無(wú)極值。
②當(dāng)時(shí),令得,
,;,
所以在上單調(diào)遞減,在上單調(diào)遞增
所以在處取得極小值,且極小值為,無(wú)極大值
綜上,當(dāng)時(shí),無(wú)極值;當(dāng),在處取得極小值,無(wú)極大值。
(2)由
設(shè),則
所以時(shí),;時(shí),
所以在上單調(diào)遞減,在上單調(diào)遞增,
所以即在上單調(diào)遞增.
考點(diǎn):1、函數(shù)的極值最值求法;2、構(gòu)造函數(shù)解決新問(wèn)題.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:解答題
已知x=3是函數(shù)f(x)=aln(1+x)+x2-10x的一個(gè)極值點(diǎn).
(1)求a;
(2)求函數(shù)f(x)的單調(diào)區(qū)間;
(3)若直線y=b與函數(shù)y=f(x)的圖象有3個(gè)交點(diǎn),求b的取值范圍.
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已知函數(shù)的圖像在點(diǎn)處的切線斜率為10.
(1)求實(shí)數(shù)的值;
(2)判斷方程根的個(gè)數(shù),并證明你的結(jié)論;
(21)探究: 是否存在這樣的點(diǎn),使得曲線在該點(diǎn)附近的左、右兩部分分別位于曲線在該點(diǎn)處切線的兩側(cè)? 若存在,求出點(diǎn)A的坐標(biāo);若不存在,說(shuō)明理由.
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已知函數(shù).
⑴當(dāng)時(shí),①若的圖象與的圖象相切于點(diǎn),求及的值;
②在上有解,求的范圍;
⑵當(dāng)時(shí),若在上恒成立,求的取值范圍.
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設(shè)函數(shù).
(1)當(dāng)時(shí),求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間;
(2)當(dāng)時(shí),若恒成立,求的取值范圍.
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已知圖像過(guò)點(diǎn),且在處的切線方程是.
(1)求的解析式;
(2)求在區(qū)間上的最大值和最小值.
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已知函數(shù),其中.
(Ⅰ)若,求函數(shù)的極值點(diǎn);
(Ⅱ)若在區(qū)間內(nèi)單調(diào)遞增,求實(shí)數(shù)的取值范圍.
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如圖,現(xiàn)要在邊長(zhǎng)為的正方形內(nèi)建一個(gè)交通“環(huán)島”.正方形的四個(gè)頂點(diǎn)為圓心在四個(gè)角分別建半徑為(不小于)的扇形花壇,以正方形的中心為圓心建一個(gè)半徑為的圓形草地.為了保證道路暢通,島口寬不小于,繞島行駛的路寬均不小于.
(1)求的取值范圍;(運(yùn)算中取)
(2)若中間草地的造價(jià)為元,四個(gè)花壇的造價(jià)為元,其余區(qū)域的造價(jià)為元,當(dāng)取何值時(shí),可使“環(huán)島”的整體造價(jià)最低?
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已知函數(shù),其中為常數(shù).
(Ⅰ)若函數(shù)是區(qū)間上的增函數(shù),求實(shí)數(shù)的取值范圍;
(Ⅱ)若在時(shí)恒成立,求實(shí)數(shù)的取值范圍.
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