Question

【題目】已知函數(shù)f（x）=xcosx﹣sinx，x∈[0， ]
（1）求證：f（x）≤0；
（2）若a＜ ＜b對(duì)x∈（0， ）上恒成立，求a的最大值與b的最小值．

Answer 1

【答案】
（1）解：由f（x）=xcosx﹣sinx得

f′（x）=cosx﹣xsinx﹣cosx=﹣xsinx，

此在區(qū)間∈（0， ）上f′（x）=﹣xsinx＜0，

所以f（x）在區(qū)間∈[0， ]上單調(diào)遞減，

從而f（x）≤f（0）=0

（2）解：當(dāng)x＞0時(shí)，“ ＞a”等價(jià)于“sinx﹣ax＞0”，“ ＜b”等價(jià)于“sinx﹣bx＜0”

令g（x）=sinx﹣cx，則g′（x）=cosx﹣c，

當(dāng)c≤0時(shí)，g（x）＞0對(duì)x∈（0， ）上恒成立，

當(dāng)c≥1時(shí)，因?yàn)閷?duì)任意x∈（0， ），g′（x）=cosx﹣c＜0，

所以g（x）在區(qū)間[0， ]上單調(diào)遞減，

從而，g（x）＜g（0）=0對(duì)任意x∈（0， ）恒成立，

當(dāng)0＜c＜1時(shí)，存在唯一的x0∈（0， ）使得g′（x0）=cosx0﹣c=0，

g（x）與g′（x）在區(qū)間（0， ）上的情況如下：

x	（0，x0）	x0	（x0， ）
g′（x）	+		﹣
g（x）	↑		↓

因?yàn)間（x）在區(qū)間（0，x0）上是增函數(shù)，

所以g（x0）＞g（0）=0進(jìn)一步g（x）＞0對(duì)任意x∈（0， ）恒成立，

當(dāng)且僅當(dāng)

綜上所述當(dāng)且僅當(dāng) 時(shí)，g（x）＞0對(duì)任意x∈（0， ）恒成立，

當(dāng)且僅當(dāng)c≥1時(shí)，g（x）＜0對(duì)任意x∈（0， ）恒成立，

所以若a＜ ＜b對(duì)x∈（0， ）上恒成立，則a的最大值為 ，b的最小值為1

【解析】（1）求出f′（x）=cosx﹣xsinx﹣cosx=﹣xsinx，判定出在區(qū)間∈（0， ）上f′（x）=﹣xsinx＜0，得f（x）在區(qū)間∈[0， ]上單調(diào)遞減，從而f（x）≤f（0）=0．（2）當(dāng)x＞0時(shí)，“ ＞a”等價(jià)于“sinx﹣ax＞0”，“ ＜b”等價(jià)于“sinx﹣bx＜0”構(gòu)造函數(shù)g（x）=sinx﹣cx，通過求函數(shù)的導(dǎo)數(shù)討論參數(shù)c求出函數(shù)的最值，進(jìn)一步求出a，b的最值．
【考點(diǎn)精析】掌握函數(shù)的最大(小)值與導(dǎo)數(shù)是解答本題的根本，需要知道求函數(shù)在上的最大值與最小值的步驟：（1）求函數(shù)在內(nèi)的極值；（2）將函數(shù)的各極值與端點(diǎn)處的函數(shù)值，比較，其中最大的是一個(gè)最大值，最小的是最小值．