Question

15．函數(shù)f（x）=$\left\{{\begin{array}{l}{2cosπx，-1＜x＜0}\\{{e^{2x-1}}，x≥0}\end{array}}$滿足f（${\frac{1}{2}}$）+f（a）=2，則a的所有可能值為（　　）

• A． $1或-\frac{1}{3}$
• B． $\frac{1}{2}或1$
• C． 1
• D． $\frac{1}{2}或-\frac{1}{3}$

Answer 1

分析 利用函數(shù)的解析式，通過(guò)討論a的范圍，列出方程求解即可．

解答 解：函數(shù)f（x）=$\left\{{\begin{array}{l}{2cosπx，-1＜x＜0}\\{{e^{2x-1}}，x≥0}\end{array}}$滿足f（${\frac{1}{2}}$）+f（a）=2，
當(dāng)a∈（-1，0）時(shí)，可得：${e}^{2×\frac{1}{2}-1}$+2cosaπ=2，
可得cosa$π=\frac{1}{2}$，
解得a=$-\frac{1}{3}$．
當(dāng)a＞0時(shí)，f（${\frac{1}{2}}$）+f（a）=2，
化為：${e}^{2×\frac{1}{2}-1}$+e^2a-1=2，
即e^2a-1=1，
解得a=$\frac{1}{2}$．
則a的所有可能值為：$\frac{1}{2}或-\frac{1}{3}$．
故選：D．

點(diǎn)評(píng) 本題考查分段函數(shù)的應(yīng)用，函數(shù)零點(diǎn)的個(gè)數(shù)的求法，考查計(jì)算能力．