【題目】已知指數(shù)函數(shù)y=g(x)滿足:g(3)=8,定義域?yàn)镽的函數(shù)f(x)= 是奇函數(shù).
(1)確定y=g(x),y=f(x)的解析式;
(2)若h(x)=f(x)+a在(﹣1,1)上有零點(diǎn),求a的取值范圍;
(3)若對任意的t∈(﹣4,4),不等式f(6t﹣3)+f(t2﹣k)<0恒成立,求實(shí)數(shù)k的取值范圍.
【答案】(1);(2)(﹣,);(3)(﹣∞,﹣12).
【解析】
(Ⅰ)設(shè)g(x)=ax(a>0且a≠1),由a3=8解得a=2.故g(x)=2x.再根據(jù)函數(shù)是奇函數(shù),求出m、n的值,得到f(x)的解析式;(Ⅱ)根據(jù)零點(diǎn)存在定理得到h(﹣1)h(1)<0,解得即可;(Ⅲ)根據(jù)函數(shù)為奇函數(shù)和減函數(shù),轉(zhuǎn)化為即對一切t∈(-4,4),有t2+6t﹣3>k恒成立,再利用函數(shù)的單調(diào)性求出函數(shù)的最值即可.
(1)解:設(shè)g(x)=ax(a>0且a≠1),∵g(3)=8,∴a3=8,解得a=2. ∴g(x)=2x .
∴,
∵函數(shù)f(x)是定義域?yàn)镽的奇函數(shù),∴f(0)=0,∴,∴n=1,
∴又f(﹣1)=f(1),∴,解得m=2
∴
(2)解:由(1)知 , 易知f(x)在R上為減函數(shù),
又h(x)=f(x)+a在(﹣1,1)上有零點(diǎn),
從而h(﹣1)h(1)<0,即,
∴(a+ )(a﹣)<0,
∴﹣<a<,
∴a的取值范圍為(﹣,)
(3)解:由(1)知, 又f(x)是奇函數(shù),∴f(6t﹣3)+f(t2﹣k)<0,
∴f(6t﹣3)<﹣f(t2﹣k)=f(k﹣t2),
∵f(x)在R上為減函數(shù),由上式得6t﹣3>k﹣t2 ,
即對一切t∈(﹣4,4),有t2+6t﹣3>k恒成立,
令m(t)=t2+6t﹣3,t∈(﹣4,4),易知m(t)>﹣12,
∴k<﹣12,
即實(shí)數(shù)k的取值范圍是(﹣∞,﹣12).
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【題目】如圖,平面ABEF⊥平面ABC,四邊形ABEF為矩形,AC=BC.O為AB的中點(diǎn),OF⊥EC. (Ⅰ)求證:OE⊥FC:
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【題目】已知點(diǎn)分別是橢圓的左右頂點(diǎn), 為其右焦點(diǎn), 與的等比中項(xiàng)是,橢圓的離心率為.
(1)求橢圓的方程;
(2)設(shè)不過原點(diǎn)的直線與該軌跡交于兩點(diǎn),若直線的斜率依次成等比數(shù)列,求的面積的取值范圍.
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【題目】已知點(diǎn)P是拋物線x2=4y上的動(dòng)點(diǎn),點(diǎn)P在x軸上的射影是Q,點(diǎn)A(8,7),則|PA|+|PQ|的最小值為( )
A.7
B.8
C.9
D.10
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【題目】當(dāng)|a|≤1,|x|≤1時(shí),關(guān)于x的不等式|x2﹣ax﹣a2|≤m恒成立,則實(shí)數(shù)m的取值范圍是( )
A.[ ,+∞)
B.[ ,+∞)
C.[ ,+∞)
D.[ ,+∞)
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【題目】某企業(yè)生產(chǎn)一種機(jī)器的固定成本(即固定投入)為 0.5 萬元,但每生產(chǎn)100臺時(shí),又需可變成本(即另增加投入)0.25 萬元.市場對此商品的年需求量為 500臺,銷售的收入(單位:萬元)函數(shù)為 R(x)=5x-x2(0≤x≤5),其中 x 是產(chǎn)品生產(chǎn)的數(shù)量(單位:百臺).
(1)求利潤關(guān)于產(chǎn)量的函數(shù).
(2)年產(chǎn)量是多少時(shí),企業(yè)所得的利潤最大?
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【題目】已知△ABC三邊長構(gòu)成公差為d(d≠0)的等差數(shù)列,則△ABC最大內(nèi)角α的取值范圍為( )
A. <α≤
B. <α<π
C. ≤α<π
D. <α≤
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【題目】已知二次函數(shù)
(1)設(shè)函數(shù),且函數(shù)在區(qū)間上是單調(diào)函數(shù),求實(shí)數(shù)的取值范圍;
(2)設(shè)函數(shù),求當(dāng)時(shí),函數(shù)的值域。
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