Question

9．已知|$\overrightarrow{a}$|=|$\overrightarrow$|=6，向量$\overrightarrow{a}$與$\overrightarrow$的夾角為$\frac{π}{3}$．
（1）求|$\overrightarrow{a}$+$\overrightarrow$|，|$\overrightarrow{a}$-$\overrightarrow$|；
（2）求$\overrightarrow{a}$+$\overrightarrow$與$\overrightarrow{a}$-$\overrightarrow$的夾角．

Answer 1

分析 （1）求出$\overrightarrow{a}•\overrightarrow$，再計算∴（$\overrightarrow{a}+\overrightarrow$）²，（$\overrightarrow{a}-\overrightarrow$）²，開方即為答案；
（2）根據(jù)（$\vec a$+$\vec b$）•（$\vec a$-$\vec b$）=0得出答案．

解答 解：（1）$\overrightarrow{a}•\overrightarrow$=|$\vec a$||$\vec b$|cosθ=6×6×cos$\frac{π}{3}$=18，
∴（$\overrightarrow{a}+\overrightarrow$）²=${\overrightarrow{a}}^{2}+2\overrightarrow{a}•\overrightarrow+{\overrightarrow}^{2}$=36+36+36=108，（$\overrightarrow{a}-\overrightarrow$）²=${\overrightarrow{a}}^{2}-2\overrightarrow{a}•\overrightarrow+{\overrightarrow}^{2}$=36-36+36=36．
∴|$\overrightarrow{a}+\overrightarrow$|=$\sqrt{108}$=6$\sqrt{3}$，|$\vec a$-$\vec b$|=$\sqrt{36}$=6．
（2）∵（$\vec a$+$\vec b$）•（$\vec a$-$\vec b$）=${\overrightarrow{a}}^{2}$-${\overrightarrow}^{2}$=0，∴$\vec a$+$\vec b$與$\vec a$-$\vec b$的夾角為90°．

點評 本題考查了平面向量數(shù)量積的運(yùn)算性質(zhì)，屬于中檔題．