Question

9．已知圓C與圓D：（x-1）²+（y+2）²=4關(guān)于直線y=x對稱．
（Ⅰ） 求圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程；
（Ⅱ）若直線l：y=kx+1與圓C交于A、B兩點(diǎn)，且|AB|=2$\sqrt{3}$，求直線l的方程．

Answer 1

分析 （Ⅰ）求出圓D：（x-1）²+（y+2）²=4的圓心為點(diǎn)D（1，-2），半徑為2，因此所求圓的圓心為點(diǎn)D關(guān)于x=y對稱點(diǎn)，圓半徑為2，由此結(jié)合圓的標(biāo)準(zhǔn)方程即可得到所求圓的方程．
（Ⅱ）求出圓心C（-2，1）到直線l的距離d，由此利用勾股定理能求出k，從而能求出直線l的方程．

解答 解：（Ⅰ）圓D：（x-1）²+（y+2）²=4的圓心為點(diǎn)C（1，-2），半徑r=2，
∵圓C與圓D：（x-1）²+（y+2）²=4關(guān)于直線y=x對稱，
∴圓C的半徑r=2，且圓心C為點(diǎn)D（1，-2）關(guān)于x=y對稱點(diǎn)，即C（-2，1），
∴圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程為：（x+2）²+（y-1）²=4．
（Ⅱ）∵直線l：y=kx+1與圓C交于A、B兩點(diǎn)，且|AB|=2$\sqrt{3}$，
∴圓心C（-2，1）到直線l的距離為：
d=$\frac{|-2k-1+1|}{\sqrt{{k}^{2}+1}}$=$\frac{|2k|}{\sqrt{{k}^{2}+1}}$，
且$（\sqrt{3}）^{2}+（\frac{|2k|}{\sqrt{{k}^{2}+1}}）^{2}$=4，
解得k=$±\frac{\sqrt{3}}{3}$，
∴直線l的方程為y=-$\frac{\sqrt{3}}{3}x+1$或y=$\frac{\sqrt{3}}{3}x+1$．

點(diǎn)評 本題考查圓的標(biāo)準(zhǔn)方程的求法，考查直線方程的求法，是中檔題，解題時(shí)要認(rèn)真審題，注意圓的性質(zhì)、直線方程的性質(zhì)的合理運(yùn)用．