解答:解:(Ⅰ)∵h(yuǎn)'(x)=2x+
,又因為x>0,所以h'(x)>0在(0,+∞)上恒成立
即函數(shù)h(x)在(0,+∞)上是單調(diào)遞增,(2分)
且h(1)=0(4分)
(Ⅱ)f'(x)=
=
(x>0)
由(Ⅰ)函數(shù)h(x)=x
2-1+lnx在(0,+∞)上是單調(diào)遞增,且h(1)=0可知:
當(dāng)0<x<1時,h(x)<0,所以有f'(x)<0;
當(dāng)x>1時,h(x)>0,所以有f'(x)>0.(7分)
即函數(shù)f(x)在區(qū)間(0,1)上是減函數(shù),在區(qū)間(1,+∞)上是增函數(shù).(8分)
所以函數(shù)f(x)在x=1處取得最小值f(1)=0(9分)
(Ⅲ)不存在(10分)
∵函數(shù)f(x)在區(qū)間(1,+∞)上是增函數(shù),
∴當(dāng)滿足1≤m<n,函數(shù)f(x)在[m,n]也是增函數(shù).
若函數(shù)f(x)在[m,n]的值域也有[m,n],則有f(m)=m,f(n)=n,
也即函數(shù)y=f(x)與直線y=x在[1,+∞)上至少有兩個不同的交點,
也即g(x)=f(x)-x在[1,+∞)上至少有兩個不同的零點,
又g(x)=f(x)-x在區(qū)間[1,e)上是減函數(shù),且g(1)=f(1)-1=-1,
當(dāng)x∈[e,+∞)為增函數(shù),且g(x)<0.
∴函數(shù)g(x)=f(x)-x在[1,+∞)上沒有零點,
所以不存在實數(shù)m,n,滿足1≤m<n,使得函數(shù)f(x)在[m,n]的值域也有[m,n].(13分)