【題目】已知函數(shù)f(x)=lnx+ax2
(1)討論f(x)的單調(diào)性;
(2)設(shè)a>1,若對(duì)任意x1 , x2∈(0,+∞),恒有|f(x1)﹣f(x2)|≥4|x1﹣x2|,求a的取值范圍.
【答案】
(1)
解:f(x)的定義域是(0,+∞),
f′(x)= ,(x>0),
a≥0時(shí),f′(x)>0,故f(x)在(0,+∞)遞增,
a<0時(shí),令f′(x)>0,解得:0<x< ,
令f′(x)<0,解得:x> ,
故函數(shù)f(x)在(0, )遞增,在( ,+∞)遞減
(2)
解:不妨設(shè)x1≤x2,而a>1,
由(1)得:f(x)在(0,+∞)遞增,
從而對(duì)任意x1,x2∈(0,+∞),|f(x1)﹣f(x2)|≥4|x1﹣x2|
等價(jià)于x1,x2∈(0,+∞),f(x2)﹣4x2≥f(x1)﹣4x1①
令g(x)=f(x)﹣4x,則g′(x)= +2ax﹣4
① 等價(jià)于g(x)在(0,+∞)單調(diào)遞增,即 +2ax﹣4≥0.
從而2a≥ = +4,∴a≥2
故a的取值范圍為[2,+∞)
【解析】
【考點(diǎn)精析】解答此題的關(guān)鍵在于理解利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性的相關(guān)知識(shí),掌握一般的,函數(shù)的單調(diào)性與其導(dǎo)數(shù)的正負(fù)有如下關(guān)系: 在某個(gè)區(qū)間內(nèi),(1)如果,那么函數(shù)在這個(gè)區(qū)間單調(diào)遞增;(2)如果,那么函數(shù)在這個(gè)區(qū)間單調(diào)遞減,以及對(duì)函數(shù)的最大(小)值與導(dǎo)數(shù)的理解,了解求函數(shù)在上的最大值與最小值的步驟:(1)求函數(shù)在內(nèi)的極值;(2)將函數(shù)的各極值與端點(diǎn)處的函數(shù)值,比較,其中最大的是一個(gè)最大值,最小的是最小值.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】某校在本校任選了一個(gè)班級(jí),對(duì)全班50名學(xué)生進(jìn)行了作業(yè)量的調(diào)查,根據(jù)調(diào)查結(jié)果統(tǒng)計(jì)后,得到如下的列聯(lián)表,已知在這50人中隨機(jī)抽取1人,認(rèn)為作業(yè)量大的概率為.
認(rèn)為作業(yè)量大 | 認(rèn)為作業(yè)量不大 | 合計(jì) | |
男生 | 18 | ||
女生 | 17 | ||
合計(jì) | 50 |
(Ⅰ)請(qǐng)完成上面的列聯(lián)表;
(Ⅱ)根據(jù)列聯(lián)表的數(shù)據(jù),能否有的把握認(rèn)為“認(rèn)為作業(yè)量大”與“性別”有關(guān)?
附表:
0.100 | 0.050 | 0.025 | 0.010 | 0.001 | |
2.706 | 3.841 | span>5.024 | 6.635 | 10.828 |
附:
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】已知函數(shù).
(1)求曲線在點(diǎn)處的切線方程;
(2)求函數(shù)的零點(diǎn)和極值;
(3)若對(duì)任意,都有成立,求實(shí)數(shù)的最小值.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】甲、乙、丙、丁四位同學(xué)一起去向老師詢問(wèn)各自的分班情況,老師說(shuō):你們四人中有位分到班,位分到班,我現(xiàn)在給甲看乙、丙的班級(jí),給乙看丙的班級(jí),給丁看甲的班級(jí).看后甲對(duì)大家說(shuō):我還是不知道我的班級(jí),根據(jù)以上信息,則( )
A. 乙可以知道四人的班級(jí) B. 丁可以知道四人的班級(jí)
C. 乙、丁可以知道對(duì)方的班級(jí) D. 乙、丁可以知道自己的班級(jí)
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】已知四棱錐的底面是正方形,底面.
(1)求證:直線平面;
(2)當(dāng)的值為多少時(shí),二面角的大小為?
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】選修4-5:不等式選講
已知函數(shù)f(x)=log2(|x+1|+|x﹣2|﹣m).
(1)當(dāng)m=7時(shí),求函數(shù)f(x)的定義域;
(2)若關(guān)于x的不等式f(x)≥2的解集是R,求m的取值范圍.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】在平面直角坐標(biāo)系中,當(dāng)P(x,y)不是原點(diǎn)時(shí),定義P的“伴隨點(diǎn)”為P′( , );當(dāng)P是原點(diǎn)時(shí),定義P的“伴隨點(diǎn)”為它自身,平面曲線C上所有點(diǎn)的“伴隨點(diǎn)”所構(gòu)成的曲線C′定義為曲線C的“伴隨曲線”.現(xiàn)有下列命題:
①若點(diǎn)A的“伴隨點(diǎn)”是點(diǎn)A′,則點(diǎn)A′的“伴隨點(diǎn)”是點(diǎn)A;
②單位圓的“伴隨曲線”是它自身;
③若曲線C關(guān)于x軸對(duì)稱(chēng),則其“伴隨曲線”C′關(guān)于y軸對(duì)稱(chēng);
④一條直線的“伴隨曲線”是一條直線.
其中的真命題是(寫(xiě)出所有真命題的序列).
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】如圖,在四棱錐P﹣ABCD中,AD∥BC,∠ADC=∠PAB=90°,BC=CD= AD.E為棱AD的中點(diǎn),異面直線PA與CD所成的角為90°.
(1)在平面PAB內(nèi)找一點(diǎn)M,使得直線CM∥平面PBE,并說(shuō)明理由;
(2)若二面角P﹣CD﹣A的大小為45°,求直線PA與平面PCE所成角的正弦值.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】下列說(shuō)法:①設(shè)有一個(gè)回歸方程,變量增加一個(gè)單位時(shí),平均增加個(gè)單位;②線性回歸直線必過(guò)必過(guò)點(diǎn);③在吸煙與患肺病這兩個(gè)分類(lèi)變量的計(jì)算中,從獨(dú)立性檢驗(yàn)知,有的把握認(rèn)為吸煙與患肺病有關(guān)系時(shí),我們說(shuō)某人吸煙,那么他有的可能患肺;其中錯(cuò)誤的個(gè)數(shù)是( )
A. B. C. D.
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