【題目】設(shè)函數(shù)f(x)=
(1)當(dāng) 時,求函數(shù)f(x)的值域;
(2)若函數(shù)f(x)是(﹣∞,+∞)上的減函數(shù),求實數(shù)a的取值范圍.
【答案】
(1)解: a= 時,f(x)= ,
當(dāng)x<1時,f(x)=x2﹣3x是減函數(shù),所以f(x)>f(1)=﹣2,即x<1時,f(x)的值域是(﹣2,+∞).
當(dāng)x≥1時,f(x)= 是減函數(shù),所以f(x)≤f(1)=0,即x≥1時,f(x)的值域是(﹣∞,0].
于是函數(shù)f(x)的值域是(﹣∞,0]∪(﹣2,+∞)=R.
(2)解:若函數(shù)f(x)是(﹣∞,+∞)上的減函數(shù),則下列①②③三個條件同時成立:
①當(dāng)x<1,f(x)=x2﹣(4a+1)x﹣8a+4是減函數(shù),于是 ≥1,則a≥ .
②x≥1時,f(x)= 是減函數(shù),則0<a<1.
③12﹣(4a+1)1﹣8a+4≥0,則a≤ .
于是實數(shù)a的取值范圍是[ , ]
【解析】(1)a= 時,f(x)= ,當(dāng)x<1時,f(x)=x2﹣3x是減函數(shù),可求此時函數(shù)f(x)的值域;同理可求得當(dāng)x≥1時,減函數(shù)f(x)= 的值域;(2)函數(shù)f(x)是(﹣∞,+∞)上的減函數(shù),三個條件需同時成立,① ≥1,②0<a<1,③12﹣(4a+1)1﹣8a+4≥0,從而可解得實數(shù)a的取值范圍.
【考點精析】本題主要考查了函數(shù)單調(diào)性的性質(zhì)和函數(shù)的值的相關(guān)知識點,需要掌握函數(shù)的單調(diào)區(qū)間只能是其定義域的子區(qū)間 ,不能把單調(diào)性相同的區(qū)間和在一起寫成其并集;函數(shù)值的求法:①配方法(二次或四次);②“判別式法”;③反函數(shù)法;④換元法;⑤不等式法;⑥函數(shù)的單調(diào)性法才能正確解答此題.
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【題目】如圖(1)五邊形中,
,將沿折到的位置,得到四棱錐,如圖(2),點為線段的中點,且平面.
(1)求證:平面平面;
(2)若四棱柱的體積為,求四面體的體積.
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【題目】下列四個命題:
①“等邊三角形的三個內(nèi)角均為60°”的逆命題;
②“若k>0,則方程x2+2x﹣k=0有實根”的逆否命題;
③“全等三角形的面積相等”的否命題;
④“若 = ,則 ⊥ ”的否命題,
其中真命題的個數(shù)是( )
A.0
B.1
C.2
D.3
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【題目】如圖,在三棱錐中, 底面, , , , 分別是, 的中點, 在上,且.
(1)求證: 平面;
(2)在線段上上是否存在點,使二面角
的大小為?若存在,求出的長;若不存在,請說明理由.
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【題目】已知函數(shù)f(x)= .
(1)求函數(shù)f(x)的定義域和值域;
(2)判斷函數(shù)f(x)的奇偶性,并證明.
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【題目】已知函數(shù)f(x)是定義在[﹣1,1]上的奇函數(shù),且f(1)=1,若x,y∈[﹣1,1],x+y≠0有(x+y)[f(x)+f(y)]>0.
(1)判斷f(x)的單調(diào)性,并加以證明;
(2)解不等式 ;
(3)若f(x)≤m2﹣2am+1對所有x∈[﹣1,1],a∈[﹣1,1]恒成立.求實數(shù)m的取值范圍.
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【題目】已知等差數(shù)列{an}首項a1=1,公差為d,且數(shù)列 是公比為4的等比數(shù)列,
(1)求d;
(2)求數(shù)列{an}的通項公式an及前n項和Sn;
(3)求數(shù)列 的前n項和Tn .
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【題目】已知{an}是等差數(shù)列,滿足a1=3,a4=12,數(shù)列{bn}滿足b1=4,b4=20,且{bn﹣an}為等比數(shù)列.
(1)求數(shù)列{an}和{bn}的通項公式;
(2)求數(shù)列{bn}的前n項和.
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【題目】已知點A(6,2),B(3,2),動點M滿足|MA|=2|MB|.
(1)求點M的軌跡方程;
(2)設(shè)M的軌跡與y軸的交點為P,過P作斜率為k的直線l與M的軌跡交于另一點Q,若C(1,2k+2),求△CPQ面積的最大值,并求出此時直線l的方程.
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