Question

19．如圖，四棱錐P-ABCD中，△PAD為正三角形，AB∥CD，AB=2CD，∠BAD=90°，PA⊥CD，E為棱PB的中點(diǎn)
（Ⅰ）求證：平面PAB⊥平面CDE；
（Ⅱ）若直線PC與平面PAD所成角為45°，求二面角A-DE-C的余弦值．

Answer 1

分析 （Ⅰ）取AP的中點(diǎn)F，連結(jié)EF，DF，推導(dǎo)出四邊形CDEF為平行四邊形，從而DF∥CE，由此能證明平面PAB⊥平面CDE．
（Ⅱ）以A為原點(diǎn)，建立空間直角坐標(biāo)系A(chǔ)-xyz，利用向量法能求出二面角A-DE-C的余弦值．

解答 證明：（Ⅰ）取AP的中點(diǎn)F，連結(jié)EF，DF，
∵E是PB中點(diǎn)，∴EF$\underset{∥}{=}$$\frac{1}{2}$AB，∴CD$\underset{∥}{=}$EF，
∴四邊形CDEF為平行四邊形，
∴DF∥CE，
又△PAD 為正三角形，
∴PA⊥DF，從而PA⊥CE，
又PA⊥CD，CD∩CE=C，
∴PA⊥平面CDE，
又PA?平面PAB，∴平面PAB⊥平面CDE．
解：（Ⅱ）∵AB∥CD，PA⊥CD，
∴PA⊥AB，
又AB⊥AD，PA∩AD=A，
∴AB⊥平面PAD，∴CD⊥平面PAD，
∴∠CPD為PC與平面PAD所成角，即∠CPD=45°，從而CD=AD，
以A為原點(diǎn)，建立空間直角坐標(biāo)系A(chǔ)-xyz，如圖所示，
設(shè)AD=2，則A（0，0，0），B（4，0，0），P（0，1，$\sqrt{3}$），D（0，2，0），E（2，$\frac{1}{2}$，$\frac{\sqrt{3}}{2}$），
∴$\overrightarrow{AE}$=（2，$\frac{1}{2}，\frac{\sqrt{3}}{2}$），$\overrightarrow{AD}$=（0，2，0），
設(shè)平面ADE的法向量$\overrightarrow{n}$=（x，y，z），
則$\left\{\begin{array}{l}{\overrightarrow{n}•\overrightarrow{AE}=2x+\frac{1}{2}y+\frac{\sqrt{3}}{2}z=0}\\{\overrightarrow{n}•\overrightarrow{AD}=2y=0}\end{array}\right.$，取z=-4，得$\overrightarrow{n}$=（$\sqrt{3}，0，-4$），
由（Ⅰ）知PA⊥平面CDE，∴$\overrightarrow{AP}$=（0，1，$\sqrt{3}$）是平面CDE的一個(gè)法向量，
∴cos＜$\overrightarrow{AP}，\overrightarrow{n}$＞=$\frac{\overrightarrow{AP}•\overrightarrow{n}}{|\overrightarrow{AP}|•|\overrightarrow{n}|}$=$\frac{-4\sqrt{3}}{2×\sqrt{19}}$=-$\frac{2\sqrt{57}}{19}$，
∴二面角A-DE-C的余弦值為-$\frac{2\sqrt{57}}{19}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查面面垂直的證明，考查二面角的余弦值的求法，是中檔題，解題時(shí)要認(rèn)真審題，注意向量法的合理運(yùn)用．