Question

15．已知函數(shù)f（x）是冪函數(shù)，其圖象過(guò)點(diǎn)（2，8），定義在R上的函數(shù)y=F（x）是奇函數(shù)，當(dāng)x＞0時(shí)，F(xiàn)（x）=f（x）+1，
（1）求冪函數(shù) f（x）的解析式；
（2）求F（x）在R上的解析式．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)冪函數(shù)的定義通過(guò)待定系數(shù)法求出即可；（2）根據(jù)函數(shù)奇偶性的定義求出F（x）的解析式即可．

解答 解：（1）設(shè)f（x）=x^α，則2^α=8，解得：α=3，
故f（x）=x³；
（2）當(dāng)x＞0時(shí)，F(xiàn)（x）=f（x）+1=x³+1，
x＜0時(shí)，-x＞0，F(xiàn)（-x）=-x³+1=-F（x），
故x＜0時(shí)，F(xiàn)（x）=x³-1，
故F（x）=$\left\{\begin{array}{l}{{x}^{3}+1，x＞0}\\{0，x=0}\\{{x}^{3}-1，x＜0}\end{array}\right.$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了求函數(shù)的定義域問(wèn)題，考查冪函數(shù)以及函數(shù)的奇偶性，是一道基礎(chǔ)題．