Question

12．若實(shí)數(shù)x，y滿足不等式組$\left\{\begin{array}{l}x≤2\\ y＜1\\ x+2y-2≥0\end{array}\right.$，則$z=\frac{x+y+2}{x+1}$的取值范圍是為[$\frac{4}{3}$，3）．

Answer 1

分析 作出不等式組對應(yīng)的平面區(qū)域，利用z的幾何意義，利用數(shù)形結(jié)合即可得到結(jié)論．

解答 解：作出不等式組$\left\{\begin{array}{l}x≤2\\ y＜1\\ x+2y-2≥0\end{array}\right.$對應(yīng)的平面區(qū)域如圖：
∵$z=\frac{x+y+2}{x+1}$=1+$\frac{y+1}{x+1}$，設(shè)k=$\frac{y+1}{x+1}$，則k的幾何意義為區(qū)域內(nèi)的點(diǎn)到定點(diǎn)D（-1，-1）的斜率，
由圖象知BD的斜率最小，AD的斜率最大，如果A在可行域則k的最大為：$\frac{1+1}{0+1}$=2，最小為：$\frac{1+0}{2+1}$=$\frac{1}{3}$，
即$\frac{1}{3}≤$k＜2，
則$\frac{4}{3}$≤k+1＜3，
故$z=\frac{x+y+2}{x+1}$的取值范圍是[$\frac{4}{3}$，3），
故答案為：[$\frac{4}{3}$，3）．

點(diǎn)評 本題主要考查線性規(guī)劃的應(yīng)用，利用z的幾何意義以及斜率的計(jì)算，通過數(shù)形結(jié)合是解決本題的關(guān)鍵．