Question

12．某蛋糕店每天制作生日蛋糕若干個(gè)，每個(gè)生日蛋糕的成本為50元，然后以每個(gè)100元的價(jià)格出售，如果當(dāng)天賣(mài)不完，剩下的蛋糕作垃圾處理．現(xiàn)需決策此蛋糕店每天應(yīng)該制作幾個(gè)生日蛋糕，為此搜集并整理了100天生日蛋糕的日需求量（單位：個(gè)），得到如圖所示的柱狀圖，以100天記錄的各需求量的頻率作為每天各需求量發(fā)生的概率．

（1）若蛋糕店一天制作17個(gè)生日蛋糕，
①求當(dāng)天的利潤(rùn)y（單位：元）關(guān)于當(dāng)天需求量n（單位：個(gè)，n∈N）的函數(shù)解析式；
②在當(dāng)天的利潤(rùn)不低于750元的條件下，求當(dāng)天需求量不低于18個(gè)的概率．
（2）若蛋糕店計(jì)劃一天制作16個(gè)或17個(gè)生日蛋糕，請(qǐng)你以蛋糕店一天利潤(rùn)的期望值為決定依據(jù)，判斷應(yīng)該制作16個(gè)是17個(gè)？

Answer 1

分析 （1）①利用分段函數(shù)求出當(dāng)n≥17時(shí)，當(dāng)n≤16時(shí)的函數(shù)的解析式．②設(shè)當(dāng)天的利潤(rùn)不低于750元為事件A，設(shè)當(dāng)天需求量不低于18個(gè)為事件B，求出事件個(gè)數(shù)，然后求解概率．
（2）X表示當(dāng)天的利潤(rùn)（單位：元），求出X的分布列，求出期望，蛋糕店一天制作16個(gè)，Y表示當(dāng)天的利潤(rùn)（單位：元），Y的分布列，求出期望，半徑利潤(rùn)即可．

解答 解：（1）①當(dāng)n≥17時(shí)，y=17×（100-50）=850；
當(dāng)n≤16時(shí)，y=50n-50（17-n）=100n-850．
得$y=\left\{{\begin{array}{l}{100n-850（{n≤16}）}\\{850（{n≥17}）}\end{array}（{n∈N}）}\right.$…（3分）
②設(shè)當(dāng)天的利潤(rùn)不低于750元為事件A，
設(shè)當(dāng)天需求量不低于18個(gè)為事件B，
由①得“利潤(rùn)不低于750元”等價(jià)于“需求量不低于16個(gè)”，則P（A）=0.7，$P（{B|A}）=\frac{{P（{AB}）}}{P（A）}=\frac{0.15+0.13+0.1}{0.7}=\frac{19}{35}$…（6分）
（2）蛋糕店一天應(yīng)制作17個(gè)生日蛋糕，理由如下：
若蛋糕店一天制作17個(gè)，X表示當(dāng)天的利潤(rùn)（單位：元），X的分布列為

X	550	650	750	850
P	0.1	0.2	0.16	0.54

EX=550×0.1+650×0.2+750×0.16+850×0.54=764…（9分）
若蛋糕店一天制作16個(gè)，Y表示當(dāng)天的利潤(rùn)（單位：元），Y的分布列為

Y	600	700	800
P	0.1	0.2	0.7

EY=600×0.1+700×0.2+800×0.7=760，…（11分）
由以上的計(jì)算結(jié)果可以看出，EX＞EY，即一天制作17個(gè)的利潤(rùn)大于制作16個(gè)的利潤(rùn)，
所以蛋糕店一天應(yīng)該制作17個(gè)生日蛋糕…（12分）

點(diǎn)評(píng) 本題考查函數(shù)與方程的應(yīng)用，概率的求法，分布列以及期望的求法，考查轉(zhuǎn)化思想以及計(jì)算能力．