Question

函數(shù)f（x）=x³+ax²+bx的兩個極值點分別為-1，3．
（Ⅰ）求a、b的值；
（Ⅱ）求f（x）的單調(diào)區(qū)間與極值．

Answer 1

考點：利用導數(shù)研究函數(shù)的極值,利用導數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性

專題：綜合題,導數(shù)的概念及應用

分析：（Ⅰ）先求出f（x）的導數(shù)，令導數(shù)f′（x）=0，求出極值點，在方程組求解a，b的值．
（Ⅱ）先求出f（x）導函數(shù)，f′（x）＞0，f′（x）＜0，列表判斷單調(diào)區(qū)間，極大值，極小值，Ⅰ
再代入f（x）求大小即可

解答： 解：（Ⅰ）函數(shù)f（x）=x³+ax²+bx，f′（x）=3x²+2ax+b，
∵函數(shù)f（x）=x³+ax²+bx的兩個極值點分別為-1，3，
∴-1，3是方程f′（x）=0的兩個根，
由根與系數(shù)的關系得

-1+3=- 2a 3 -3= b 3

，解得

a=-3 b=-9

；
（Ⅱ）f（x）=x³-3x²-9x，f′（x）=3x²-6x-9=3（x+1）（x-3），列表可得

x	（-∞，-1）	-1	（-1，3）	3	（3，+∞）
f′（x）	+	0	-	0	+
f（x）	↗	極大值	↘	極小值	↗

f（-1）=5，f（3）=-27，
所以 f（x）=x³-3x²-9x在（-∞，-1），（3，+∞）為增函數(shù)，（-1，3）為減函數(shù)，
極大值為5，極小值為-27．

點評：本題考查了三次函數(shù)單調(diào)性的判斷，及應用求解極大值，極小值，是導數(shù)應用的最基本的題型，注意步驟，和列表判斷是極大值還是極小值