Question

15．在△ABC中，a，b，c分別是A，B，C的對邊，且$\frac{tanC}{tanB}=-\frac{c}{2a+c}$．
（I）求B；
（II）若b=2$\sqrt{3}$，a+c=4，求△ABC的面積．

Answer 1

分析 （Ⅰ）根據正弦定理和三角函數的化簡可得cosB=-$\frac{1}{2}$，即可求出答案，
（Ⅱ）由余弦定理可得ac的值，再根據三角形的面積公式即可求出

解答 解：（Ⅰ）在△ABC中，由正弦定理以及且$\frac{tanC}{tanB}=-\frac{c}{2a+c}$得：
$\frac{tanC}{tanB}$=-$\frac{sinC}{2sinA+sinC}$，
∴$\frac{sinCcosB}{cosCsinB}$=-$\frac{sinC}{2sinA+sinC}$，
∵C為△ABC的內角，
∴sinC≠0，
∴$\frac{cosB}{cosCsinB}$=-$\frac{1}{2sinA+sinC}$，
∴2sinAcosB+sinCcosB=-cosCsinB，
∴2sinAcosB=-（cosCsinB+sinCcosB）=-sin（B+C）
∵A+B+C=π，
∴sin（B+C）=sinA，
∴2sinAcosB=-sinA，
∵sinA≠0，
∴cosB=-$\frac{1}{2}$，
∵B為三角形的內角，
∴B=$\frac{2π}{3}$；
（Ⅱ）由余弦定理b²=a²+c²-2accosB得b²=（a+c）²-2ac-2accosB，
將b=2$\sqrt{3}$，a+c=4，B=$\frac{2}{3}$π代入上式可得12=16-2ac（1-$\frac{1}{2}$），
∴ac=4，
∴S_△ABC=$\frac{1}{2}$acsinB=$\frac{1}{2}$×4×$\frac{\sqrt{3}}{2}$=$\sqrt{3}$．

點評 本題考查了正弦定理和余弦定理和三角形的面積公式以及三角函數的化簡和求值，考查了學生的運算能力，屬于中檔題