Question

如圖所示，在直三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，AC⊥BC．
（1）求證：平面AB₁C₁⊥平面AC₁；
（2）若AB₁⊥A₁C，求線段AC與AA₁長度之比；
（3）若D是棱CC₁的中點，問在棱AB上是否存在一點E，使DE∥平面AB₁C₁？若存在，試確定點E的位置；若不存在，請說明理由．

Answer 1

考點：平面與平面垂直的判定,直線與平面平行的判定

專題：證明題,空間位置關(guān)系與距離

分析：（1）由于已知，可得B₁C₁⊥CC₁，又AC⊥BC，可得B₁C₁⊥A₁C₁，從而B₁C₁⊥平面AC₁，又B₁C₁?平面AB₁C₁，從而平面AB₁C₁⊥平面AC₁．
（2）由（1）知，B₁C₁⊥A₁C，若AB₁⊥A₁C，則可得：A₁C⊥平面AB₁C₁，從而A₁C⊥AC₁，由于ACC₁A₁是矩形，故AC與AA₁長度之比為1：1．
（3）證法一：設F是BB₁的中點，連結(jié)DF、EF、DE．則易證：平面DEF∥平面AB₁C₁，從而DE∥平面AB₁C₁．
證法二：設G是AB₁的中點，連結(jié)EG，則易證EG

∥

.

DC₁．即有DE∥C₁G，DE∥平面AB₁C₁．

解答： 解：（1）由于ABC-A₁B₁C₁是直三棱柱，所以B₁C₁⊥CC₁；
又因為AC⊥BC，所以B₁C₁⊥A₁C₁，所以B₁C₁⊥平面AC₁．
由于B₁C₁?平面AB₁C₁，從而平面AB₁C₁⊥平面AC₁．
（2）由（1）知，B₁C₁⊥A₁C．所以，若AB₁⊥A₁C，則可
得：A₁C⊥平面AB₁C₁，從而A₁C⊥AC₁．
由于ACC₁A₁是矩形，故AC與AA₁長度之比為1：1．
（3）點E位于AB的中點時，能使DE∥平面AB₁C₁．
證法一：設F是BB₁的中點，連結(jié)DF、EF、DE．
則易證：平面DEF∥平面AB₁C₁，從而
DE∥平面AB₁C₁．
證法二：設G是AB₁的中點，連結(jié)EG，則易證EG

∥

.

DC₁．
所以DE∥C₁G，DE∥平面AB₁C₁．

點評：本題主要考察了平面與平面垂直的判定，直線與平面平行的判定，屬于基本知識的考查．