Question

已知直角坐標(biāo)系xOy中，點(diǎn)F在x軸正半軸上，點(diǎn)G在第一象限，設(shè)|

OF

|=c（c≥2），△OFG的面積為S=

3

4

c，且

OF

•

FG

=1．
（1）以O(shè)為中心，F(xiàn)為焦點(diǎn)的橢圓E經(jīng)過(guò)點(diǎn)G，求點(diǎn)G的縱坐標(biāo)；
（2）在（1）的條件下，當(dāng)|

OG

|取最小值時(shí)，求橢圓E的標(biāo)準(zhǔn)方程；
（3）在（2）的條件下，設(shè)點(diǎn)A、B分別為橢圓E的左、右頂點(diǎn)，點(diǎn)C是橢圓的下頂點(diǎn)，點(diǎn)P在橢圓E上（與點(diǎn)A、B均不重合），點(diǎn)D在直線PA上，若直線PB的方程為y=kx-3

10

，且

AP

•

CD

=0，試求CD直線方程．

Answer 1

考點(diǎn)：直線與圓錐曲線的綜合問(wèn)題

專題：圓錐曲線中的最值與范圍問(wèn)題

分析：在圓錐曲線綜合題目中遇到向量的條件時(shí)，有幾何意義的可利用其幾何意義進(jìn)行轉(zhuǎn)化，無(wú)明顯幾何特征的可轉(zhuǎn)化為坐標(biāo)關(guān)系進(jìn)行解答．

解答： 解：（1）設(shè)G（x₀，y₀），∵S=

1

2

•|

OF

|•|y₀|，
∴

3

4

c=

1

2

c•|y0|，得|y0|=

3

2

，
∵y₀＞0，∴y0=

3

2

．
（2）∵

OF

=（c，0），

FG

=（x₀-c，y₀），
則

OF

•

FG

=c•（x₀-c）=1，
∴x0=c+

1

c

，
∴|

OG

|=

x02+y02

=

(c+ 1 c )2+ 9 4

（c≥2），
解得f(c)=c+

1

c

在[2，+∞]上遞增，
∴當(dāng)c=2時(shí)，f（c）有最小值2+

1

2

=

5

2

，
此時(shí)x0=

5

2

，y0=

3

2

，∴G(

5

2

，

3

2

)
由點(diǎn)G在橢圓E上，且c=2，得a²=10，b²=6，
則橢圓E方程為：

x2

10

+

y2

6

=1．
（3）由（2）知：A(-

10

，0)，B(

10

，0)，C(0，-

6

)，
∵直線BP：y=kx-3

10

經(jīng)過(guò)點(diǎn)B，
∴求得k=3，設(shè)P（x₁，y₁）則

y

2 1

=

6

10

(10-

x

2 1

)，
∴kAP•kBP=

y1

x1- 10

×

y1

x1+ 10

=

y 2 1

x 2 1 -10

=

6 10 (10- x 2 1 )

x 2 1 -10

=-

6

10

=-

3

5

，
∴kAP=-

3

5

×

1

kPB

=-

3

5

•

1

K

=-

3

5

•

1

3

=-

1

5

，
又

AP

•

CD

=0，∴k_AP•k_CD=-1，∴-

1

5

•kCD=-1，∴k_CD=5，
又CD直線過(guò)點(diǎn)C（0，-

6

），故所求CD方程為：y=5x-

6

．

點(diǎn)評(píng)：本題考查點(diǎn)G的縱坐標(biāo)的求法，考查橢圓E的標(biāo)準(zhǔn)方程的求法，考查直線方程的求法，解題時(shí)要認(rèn)真審題，注意函數(shù)與方程思想的合理運(yùn)用．