Question

【題目】已知函數(shù)

(1)討論函數(shù)的單調(diào)性;

(2)設(shè),當(dāng)函數(shù)與的圖象有三個不同的交點時,求實數(shù)的取值范圍.

Answer 1

【答案】(1) 函數(shù)在上單調(diào)遞增,在上單調(diào)遞減.

(2)

【解析】

(1)對函數(shù)求導(dǎo),根據(jù)的不同取值,結(jié)合不等式,可以判斷出函數(shù)的單調(diào)性;

(2)由題意可知：,得.得,

設(shè),則有三個不同的根等價于函數(shù)存在三個不同的零點.對函數(shù)進行求導(dǎo),然后判斷出其單調(diào)性,結(jié)合零點存在原理,最后求出實數(shù)的取值范圍.

(1)的定義域是,

,

當(dāng)時.兩數(shù)在上單調(diào)遞增;

當(dāng)時,令,得;令,得.

故函數(shù)在上單調(diào)遞增,在上單洞遞破.

(2)由，得.得,

設(shè)，則有三個不同的根等價于函數(shù)存在三個不同的零點.

,

當(dāng)即時,，單調(diào)遞減,不可能有三個不同的零點,

當(dāng)即，有兩個零點,

,

又開口向下，

當(dāng)時, ,函數(shù)在上單調(diào)遞誡:

當(dāng)時.函數(shù)在上單調(diào)遞增:

當(dāng)時.,函數(shù)在上單調(diào)遞減.

因為，又，有,

所以

,

令.則.

令.則單調(diào)遞增.

由,求得,

當(dāng)時，單調(diào)遞減，.，

顯然在上單調(diào)遞增，

故.

由零點存在性定理知在區(qū)間上有一個根.設(shè)為,

又.得.所以.所以是的另一個零點,

故當(dāng)時,存在三個不同的零點.

故實數(shù)的取值范圍是.